יום חמישי, 31 במאי 2012

משמעות הכפל כאשר הכופל הוא שבר

משמעות הכפל כאשר הכופל הוא שבר

כשדיברנו על משמעויות של פעולות החשבון במספרים טבעיים הזכרנו גם את הכפל. נראה עכשיו מה האפשרויות לסוגי המספרים בתרגיל הכפל עבור תלמידי בית ספר יסודי.

בתרגיל כפל יש לנו כופל, נכפל ואת התוצאה: מכפלה. בבית ספר יסודי התלמידים מכירים מספרים טבעיים (ואת אפס), גם שברים פשוטים ומספרים מעורבים. יש גם ייצוגים שונים כמו שבר מדומה או שבר עשרוני.

אמרנו שתפקידו של הכופל הוא לייצג את מספר הפעמים שחוזרת על עצמה קבוצה שוות גודל. מכאן משמעותו של סימן הכפל (×) הוא פעמים. למעשה, חשוב לעודד את הילדים לקרוא את סימן הכפל ולומר פעמים ולא כפול כדי להזכיר להם את המשמעות.

כאשר הכופל שלנו כבר אינו מספר טבעי, אין משמעות ל-פעמים ואנחנו מקבלים משמעות אחרת לסימן הכפל. למשל, כאשר הכופל הוא שבר יש לו משמעות של יחס ופעולת הכפל הופכת להיות הפעלת היחס על הנכפל. הנכפל מקבל את תפקיד השלם, והכופל מייצג את החלק של השלם שאנחנו מעוניינים בו.

שודדי ים: הם מבינים בחלוקה של אוצר!!
שודדי ים!!

כל שודד ים יודע: כשמחלקים אוצר, ככל שהאוצר גדול יותר, כן גדולה יותר מנתו של כל שותף. הצד השני של המטבע הוא, שככל שמספר השותפים גדול יותר, המנה קטנה יותר. כדאי לשודד למצוא אוצר גדול ולהתחלק עם מספר קטן של שותפים!

הגדלת המונה
שברים מבטאים חילוק ולכן חלים עליהם חוקי השינוי של החילוק. הדבר מפשט מאוד את פעולות הכפל והחילוק בשברים.

אם מגדילים את המחולק פי 4, מגדילים את המנה פי 4. 

למשל, בביטוי ⅔ (שהוא חשבונית בדיוק כמו 2:3) אם נגדיל את המחולק, 2, פי 4 אז נגדיל את המנה פי 4. ואכן, 8/3 (שזה חשבונית בדיוק כמו 8:3, כי קו השבר הוא גם פעולת חילוק) גדול בדיוק פי 4 מ-⅔.

אז אפשר לנסח את הכלל שלנו במילים של שברים:

אם מגדילים את המונה פי 4, מגדילים את השבר פי 4.

כמובן, השימוש ב-4 הוא רק לשם הדוגמה. 

הגדלת המכנה

זוכרים את שודדי הים? שודדי ים יודעים שהגדלת מספר השותפים לאוצר פי 4 מקטינה את מנתו פי 4. כלומר, הגדלת המחלק פי 4 מקטינה את המנה פי 4. או בלשון השברים: הגדלת המכנה פי 4 מקטינה את השבר פי 4.

דוגמה לתרגיל כפל עם כופל שאינו מספר טבעי

הנה בעיה חשבונית:
באולם יש 66 אנשים. שני שלישים מהם יושבים והשאר עומדים. כמה אנשים יושבים באולם?
אנחנו מחפשים פתרון לבעיה כמה הם שני שלישים של 66. בחשבון כותבים את זה כך 
? = 66  ×  ⅔
תובנות
  • כאשר הכופל הוא שלם אנחנו אומרים פעמים כשאנו קוראים את הסימן ×
  • כאשר הכופל הוא שבר אנחנו אומרים של כשאנו קוראים את הסימן  ×

אז מהו התהליך שצריך לעשות כדי לפתור תרגיל כמו  66  ×  ⅔ ?

  1. נחלק את 66 ב-3 כדי למצוא כמה זה  ⅓ של 66 [המכנה של השבר אומר לנו לכמה חלקים שווים אנחנו מחלקים את השלם]
  2. נכפול את התוצאה של השלב הקודם ב-2 כדי למצוא כמה הם שני שלישים של 66, זאת אומרת, כמה הם פעמיים שליש של 66.

אנחנו רואים שבפעולת הכפל כשהכופל הוא שבר מסתתרות שתי פעולות: פעולת חילוק ואחרי פעולת כפל.

נתבונן בתרגיל: ⅔ × 5. הכופל שלנו, טבעי, ולכן המשמעות היא 5 פעמים ⅔. הנה, למשל, סיפור חשבוני שמתאים לתרגיל: 
בצנצנת יש ⅔ ק"ג של ממרח. כמה ק"ג ממרח יש ב-5 צנצנות?
כדי לפתור את הבעיה נפתור, כאמור את התרגיל ⅔ × 5. כדי לעשות זאת נבחין כי ⅔ כאן משמעותם פעמיים שליש. 5 פעמים שני שליש הם כמו 5 פעמים שתי מכוניות, ולכן יש לכפול 5 ב-2. 5 פעמים 2 הם 10. ולכן יש בידינו 10 שלישים שאותם נכתוב 10/3. משום שבשלם יש 3/3, ב-10 שלישים יש לנו 3 שלמים ועוד שליש. אז התוצאה היא ⅓3.

אנחנו יודעים שלפי חוק החילוף ⅔×5 ו- 5×⅔ זה אותו הדבר בתוצאה (אבל לא במשמעות) ולכן מתקיים ⅔×5=5×⅔, ולכן התוצאה של 5×⅔ גם היא ⅓3. אבל מה המשמעות? איזה סיפור חשבוני נוכל לספר על התרגיל הזה?

לפי הטיפול שלנו בכפל כאשר הכופל הוא שבר אנחנו אומרים של כשאנו קוראים את הסימן ×. אם כך את התרגיל 5×⅔ נקרא בקול כך: שני שליש של חמש. סיפור חשבוני מתאים יהיה למשל
דוד אכל שני שלישים מ-5 עוגות. כמה עוגות אכל דוד בסך הכול?
כדי לפתור את התרגיל אנו צריכים:
  1. לחשב כמה זה שליש מחמש
  2. לכפול את התוצאה של השלב הקודם ב-2 כי דוד אכל שני שליש מהכמות.

אפשרות נוספת, שקולה, תהיה:
  1. להיזכר ש- ⅔ הם פעמיים שליש  ואז: אפשר לכתוב את התרגיל גם כך:  5×⅓×2 ולפי חוק החילוף אפשר גם לכתוב את התרגיל כך:    5×2×⅓ שזה  10×⅓ ואז נותר רק
  2. לחלק את 10 ב-3 כדי למצוא כמה זה שליש של 10.
ונקבל ⅓3.

המחשה באמצעות שטחים
הנה 5 פעמים שני-שליש (חשבו על 5 צנצנות שבכל אחת יש ⅔ ק"ג דבש)
Inline image 1

והנה - 5 יחידות
Inline image 2
עכשיו נחלק כל אחת מהיחידות לשלושה חלקים שווים ונצבע בכל יחידה כדי לציין שיש לנו שליש מכל יחידה וכך בעצם שליש מהכמות כולה:
Inline image 3
אחרי שאנחנו יודעים כמה זה שליש של הכמות כולה אז פעמיים של שליש יתנו לנו ⅔
Inline image 4

והנה קיבלנו באופן ויזואלי את כלל החילוף: ⅔×5=5×⅔

יש לנו כאן דרך חשיבה שכבר רכשנו בעבר, כשדיברנו על משמעות השבר כמונה ומכנה. נדגים זאת באמצעות הבעיה הבאה:
בכל ערוגה יש 100 פרחים. כמה פרחים יש ב-7 ערוגות?
הפתרון: 
700 פרחים = 7 × 100 פרחים

אנו כופלים 100 פרחים ב-7. הפרחים הם המכנה (הכינוי) של המונה 100. ותשובתנו תהיה 700 פרחים. איננו כופלים את הכינוי (פרחים) אלא את המונה (100). כמובן שאת התוצאה אנחנו מכירים מתוך השימוש בכפל כאשר 100 פרחים הם קבוצה שוות גודל (כמות הפרחים בערוגה) שאנחנו מקבצים יחדיו 7 כאלה: 7 פעמים 100 פרחים: 

700 פרחים = 100 פרחים × 7 

אותו הדין לגבי 2 שלישים שמוכפלים ב-5. אנו כופלים את מספר השלישים ויש לנו בסה"כ 10 שלישים. גם כאן איננו כופלים את הכינוי (המכנה) אלא מוצאים כמה פעמים יש שלישים, ממש כמו שראינו כמה פעמים יש פרחים.

בשברים הפשוטים נפגש התלמיד בכלל:  כפל המונה מכפיל את השבר בעת שלמד את ההרחבה, והרי זה הכלל שאנו מפעילים בסוג כזה של תרגילים.

הקישור הזה מבסס חדש על ישן ונוטל מהלומד את החשש מהשברים. לצד חיזוק המשמעות של המכנה ושל המונה, ההוראה בדרך זו יוצרת תחושת מסוגלות ועונה על שלושת התנאים ההכרחיים לתיווך: כוונה והדדיות, העברה ומשמעות.

כפל שבר בשבר

ביצוע הפעולה קל. ההסבר, לעומת זאת, אינו כה קל. להדגמה נתבונן בתרגיל:

⅘×⅔=(4×2)/(5×3)=8/15

תרגיל זה מורכב משתי פעולות נפרדות. בראשונה ⅘ מוכפל ב-2

⅘×2=(4×2)/5

בשנייה התוצאה מחולקת ל-3 חלקים שווים.

(4×2)/(5×3)=8/15

כאן נכנס כלל נוסף: ככל שכופלים במספר קטן יותר -- המכפלה קטנה יותר. ניסוח הכלל אולי חדש אבל כל מי שמכיר את לוח הכפל יודע שאם כופלים במספר קטן יותר אז התוצאה קטנה יותר. נבטא את הידע הזה בשבר באופן הבא:
  • אם 30= 6×5 והכלל שניסחנו נכון אז -
  • 15 = 30/2 = 6/2 × 5 = 3 × 5
מאחר ש-3 קטן פי 2 מ-6, גם המכפלה של 5 ב-3 תהיה קטנה פי 2 מהמכפלה של 5 ב-6.

בתרגיל כפל שבר בשבר כפלנו תחילה ב-2, אבל נדרש מאיתנו לכפול במספר שקטן פי 3 מ-2, כי    קטן פי 3 מ-2. נעשה זאת על ידי כפל המכנה, כי כפל המכנה הוא חילוק של השבר.

דווקא היותו של התרגיל הזה קל לביצוע מדגיש את ההבדל בין תהליך לתוצר. מבחינת התוצר, נקבל, בדרך כלל, תוצאות משביעות רצון, כי מרבית התלמידים מצליחים בביצוע הפעולה מבלי לדעת את ההסבר לה. לעומת זאת, תהליך החשיבה שמוביל לפירוק הפעולה לשלבים -- לצורך הבנתה, קשה להסברה, אבל הוא מכין את הלומד לתהליכים מתמטיים ולשימוש באנאליזה (בניתוח) לפתרון בעיות.

המחשה ויזואלית לתרגיל ×

הנה רצועות, שלצורך ההמחשה שלי ישמשו בתור ה-שלם. וצבעתי ⅔ מהשלם בצבע תכלת.
Inline image 5

לפי התרגיל, ×⅘, אני מחפש כמה הן ארבע חמישיות של ⅔. אז, נמצא כדי לדעת כמה זה חמישית מהחלק הצבוע בתכלת (שזאת מערכת ההתייחסות שלי כרגע -- זה השלם החדש שלי, כי אני צריך לחשב כמה הן ⅘ של ⅔ מהשלם המקורי ולא  לחשב כמה הן ⅘ מהשלם המקורי) באמצעות חלוקה שלו ל-5 חלקים שווים. ואז כל שנותר לעשות זה לצבוע מחדש, נאמר, בצבע ורוד, ארבע חלקים כאלה, שהם ⅘:

Inline image 6

אפשר, כמובן, להשתמש באותו השלם, כדי להראות שנקבל אותו שטח צבוע אם נחשב את ⅘×⅔.

סיכום
למדנו משמעויות של כפל כאשר הכופל אינו מספר טבעי. למדנו מדוע כפל שברים נותן מונה-כפול-מונה ו- מכנה-כפול-מכנה. למדנו להשתמש בתרשים כדי לקבל תובנות על התרגיל שמנסים לפתור. נוכחנו שדברים שקל לפתור או שקל לבצע לא תמיד קל באותה המידה גם להסביר.

המורה,



שברים בכתה ב'

שברים בכתה ב'


"מה?!?!" הזדעזעה סיון (הבת שלי, שכרגע בכתה ב')  כשסיפרתי לה שאני עומד ללמד אותה שברים. "שברים זה נושא שלומדים אותו ילדים גדולים, ולא ילדים בכתה ב'!! בכתה המורה לא לימדה!" נלחצה סיון. למעשה, כך עניתי לה, את כבר יודעה די הרבה על שברים עוד מכתה א' ומהניסיון שלך בחיים.

למשל, בכתה א' קיפלנו ניירות ריבועיים ל-חצאים ול-רבעים בדרכים שונות (קירוב זה לזה של קודקוד לקודקוד הסמוך לו ואת שני הקודקודים הנותרים גם כן לקרב זה לזה: הקיפול חוצה את הריבוע לשני מלבנים שווי שטח, או לקרב קודקוד לקודקוד שאינו סמוך לו: הקיפול יהיה לאורך אלכסון של הריבוע ויתקבלו שני משולשים שווי שוקיים ושווי שטח) וראינו שאפשר, במקרים מסויימים לחלק גם שלם שהוא יחיד לחלקים שווים, למשל, תפוח. אנחנו יודעים שכאשר אנחנו רוצים להתחלק בכריך עם חבר אז אנחנו יכולים לחצות את הכריך לשני חלקים וכך חצי כריך ישאר אצלנו וחצי ניתן לחבר.

הילדים כבר יודעים מהו חילוק ואת משמעויות החילוק (חילוק להכלה וחילוק לחלקים) וגם התנסו (באמצעות קיפולי הריבועים וגם בהתנסויות נוספות, למשל בחצייה של כיכר לחם, של עוגה, של תפוח, של אבטיח וכך הלאה) במשמעות של חצי ושל רבע לרבות התובנה ש-רבע הוא חצי של חצי.  

אפשר ואפילו חשוב להזכיר שכאשר לוקחים שלם ומחלקים אותו שווה בשווה לשני חלקים שווים אז לכל חלק מהחלקים הללו נקרא חצי. באותו האופן, אם ניקח שלם ונחלק אותו שווה בשווה לשלושה חלקים שווים אז לכל חלק מהחלקים הללו נקרא שליש. וכך הלאה... ואז נוכל להכליל: השבר נוצר על ידי פעולת חילוק שמתבצעת על שלם כלשהו. כתוצאה מפעולה זו מתקבלים חלקים שווים של שלם כלשהו, חלק אחד מבין אותם חלקֵי-שלם מקבל את השם המתאים, לאַחַר שיש שֵם לחלק האחד [זה יהיה ה-מכנה] אפשר לִמְנות את מספר החלקים [וזה תפקידו של ה-מונה].

דוגמה:
נתון שלם כלשהו. שלם זה יכול להיות צורה (למשל, מלבן, או למשל פרי...) או כמות (למשל, קבוצת ילדים או אוסף של ספרים...);
חילקנו את השלם ל-6 חלקים שווים;
כל חלק שמו שישית;
5 חלקים כאלה הן 5 שישיות, שרושמים כך: ⅚ . 

המספר שמתחת לקו השבר נקרא מכנה והוא מציין לכמה חלקים שווים חילקנו את השלם שלנו.
המספר שמעל לקו השבר נקרא מונה והוא מציין בכמה מהחלקים השווים האלה אנחנו עוסקים: אם מדובר בחלק אחד של שלם שחילקנו ל-שישה חלקים שווים, אזי זאת שישית, ונכתוב ⅙ כי יש לנו חלק אחד מתוך שישה החלקים השווים שמרכיבים ביחד את השלם. אם אנחנו משתמשים בשני חלקים כאלה אז מדובר בשתי שישיות, ונכתוב 2/6 כי יש לנו שני חלקים מתוך ששת החלקים השווים שמרכיבים ביחד את השלם. וכך הלאה.

לכפל יש מספר מובנים למרות התוצאה הזהה, גם לחילוק יש מיספר מובנים ויש להם אפילו שמות המייחדים אותם. עכשיו נבדוק אילו מובנים יש לשבר הפשוט. משמעות אחת של השבר היא מנה. לחלקי השבר יש שמות -- אלה ירמזו לנו על האופי המיוחד של השבר הפשוט. ל-מחולק קוראים מונה, ל-מחלק קוראים מכנה. השמות האלה מצביעים על תפקידם. מה פירוש המילה מונה? המשמעות של המילים מסייעת להבנת המשמעות המתמטית. מונה פירושו סופר. כמו במשפט: אני מונה את מספר התלמידים בכיתה. כדי שנבין יותר טוב את המושג נחפש עוד מילים השייכות לאותו שורש.
ילד: מונית.
הורה: למה קוראים למונית מונית?
ילד: כי יש בה מכשיר המונה את הכסף שצריך לשלם.
הורה: איזו מילה זה מזכיר לכם השם מכנה?
ילד: כינוי.
הורה: מה זה כינוי?
ילד: כינוי פירושו שֵם.
הורה: שימו לב לשמות של השברים, הם מעידים על כך שיש כאן מנייה של משהו. למשל, ארבע חמישיות – שפירושה 4 פעמים חמישית. זה כמו ארבע בנות, שפירושו 4 פעמים בת. בארבע חמישיות 'ארבע' מונה את החמישיות ובארבע בנות ארבע מונה את הבנות. לעתים קרובות השימוש במילים יכול לעזור לנו בהבנה החשבונית. למשל, במיספרים היותר גדולים אנחנו אומרים: תשע חלקי שבע-עשרה. השם הזה מדגיש את פעולת החילוק שיש בשבר. במספרים שהם פחות מ – 10 השם מדגיש את התכונה של המנייה, כלומר שבשבר יש מונה ומכנה כמו ב-ארבע חמישיות. אם מאזינים לעברית, המילים מגלות לנו שלשבר יש לפחות שתי משמעויות שונות. 

עכשיו נתבונן בשבר הפשוט וננסה להבין את המשמעות השנייה שלו. אפתח בסיפור חשבוני.

היתה לי עוגה, חילקתי אותה ל-5 חלקים, כל חלק שמו חמישית. אכלתי שלושה מהחלקים, אכלתי 3 חמישיות של העוגה. איזה חלק של העוגה אכלתי? זו שאלה עם מספר שלבים, לכן אסביר אותם בשלבים על ידי ציור.


לפנינו העוגה – השלם. 
חילקתי אותה ל – 5 חלקים – פעולת חילוק.
כל חלק שמו חמישית – פעולת שיום , כינוי (המכנה).
אכלתי 3 מהחלקים – פעולת מנייה (המונה).
אכלתי שלוש חמישיות של העוגה – סיכום.

זהו המובן של השבר כמונה ומכנה. 

אין כל קשר בין הצורה של השבר לבין העובדה שהוא מהווה חלק מהשלם. למשל, ½ של ריבוע יכול להיות משולש או מלבן.

השלם יכול להיות מסוגים שונים: ריבוע, עיגול, משולש, שקלים או ילדים.

½ של 300 ש"ח מתקבל על ידי חלוקת 300 הש"ח ל-2 חלקים שווים.  ½  של 300 ילדים מתקבל גם כן על ידי פעולת החילוק של 300 הילדים ל-2 חלקים שווים.  ½  של משהו מתקבל אחרי שמתבצעת באותו ה-משהו פעולת חילוק ב-2.

השבר הפשוט מורכב משתי פעולות:
  1. חילוק, הקובע מהו החלק;
  2. מנייה [או כפל], שקובעת אל כמה מהחלקים הללו התייחסנו
השלם, אם כך, הוא סך כל החלקים המרכיבים אותו: אם חילקנו אותו ל-5 חלקים, כל חמשת חלקיו ייתנו את השלם. לכן, 5 חמישיות הן שלם אחד.

מונה ומכנה במיספרים העשרוניים

נתבונן במספר 3479 . נסתכל על הספרה 4 מה המונה ומה המכנה שהיא מייצגת?  ה-4 הוא המונה. המאות הוא המכנה, כי ה-4 מונה את המאות. ומה אפשר לומר על ה-7? 7 הוא המונה, עשרת זה המכנה.

עכשיו נתבונן בביטוי: 439 כיסאות. מה אפשר לומר על המונה והמכנה? 439 כיסאות. 439 הוא המונה, כיסאות הוא המכנה. אבל יש פה עוד מכנים. הם מתחבאים בתוך המספר המונה. 4 הוא המונה של המאות. 3 הוא המונה את העשרות, 9 מונה את האחדות וגם 439 הוא המונה של הכיסאות.

ילד: אני לא מבין. זה ש – 439 הוא המונה של הכיסאות זה ברור, אבל איך יכול להיות ש – 4 מונה 100?
הורה: יש פה קושי, אבל כאשר אנחנו מונים 100, אנחנו מתייחסים ל-100 כיחידה אחת, שאותה אנחנו מונים. ממש כמו יחידה אחרת, למשל ב-730ס"מ: 730 הוא המונה, הוא סופר את הס"מ, לכן הס"מ הם המכנה. למעשה כל יחידה היא מכנה. למשל, 54 ק"מ, 6 גרמים וכו'. יחד עם זאת, ב-730 ס"מ 7 הוא המונה את המאות, 3 מונה את העשרות, ו-0 מונה את האחדות.

יש כאן פעמיים מכנים. פעם אחת המכנה הוא מה שהמספר מונה, ו-פעם שנייה בתוך המספר, המכנים הם: האחדות, העשרות, המאות וכו'.

זהירות: מוקש!
יש לזכור שעל השאלה מה גדול יותר: חצי או רבע? יש לציין שההשוואה תיתכן אך ורק ביחס לאותו שלם.

מה המטרות שלנו בהוראת שברים לילדים בכתה ב'?
  1. הקניית העקרונות שבונים את השבר הפשוט
  2. הבחנה בין שלמים שונים
  3. הבחנה בין פרמטרים כמו צבע, צורה וכיוון לבין משמעות השבר שהיא: התוצאה של חילוק שלם לחלקים שווים
  4. הרחבת המשמעות של החילוק. בנוסף לחילוק שלמים שהורכבו ממספרים טבעיים, מוצגת לילדים תוצאה של חלוקת שלם אחד לחלקים שווים
  5. זיהוי שברים בצורות נתונות
  6. כתיבת שברים
  7. הגדרת השבר: ⅘ הן 4 חלקים מתוך 5 חלקים שווים
  8. שימוש בהגדרה להבנת מושג
  9. גמישות מחשבתית שנרכשת על ידי הצגה של צורות שונות לתיאור השברים
  10. הבנת המושג של בסיס משותף לצורך השוואה: השאלה מה גדול יותר: ¼ או ⅕? אפשרית רק כאשר השלם הוא אותו השלם. השלם הוא הבסיס המשותף שמאפשר את ההשוואה הזאת
  11. השלמת החלקים לשלם: אם נתונים  ⅜ של השלם, עלינו להוסיף להם עוד ⅝ כדי לקבל שלם אחד
  12. העמקה של מושג השלם
דוגמה להמחשת מטרה 4:

בעיה מוכרת לילדים על חילוק של מספרים טבעיים:
ילד סידר 10 עפרונות שווה בשווה בתוך 5 קלמרים. כמה עפרונות היו לו בכל קלמר? 
פתרון: 2 עפרונות בקלמר = 5 קלמרים :10 עפרונות

והנה הבעיה באמצעות שימוש בשברים:
ילד סידר כמות כלשהי של עפרונות שברשותו שווה בשווה ב-5 קלמרים. איזה חלק מעפרונותיו היה בכל קלמר?
פתרון: כלל העפרונות הם השלם. בכל קלמר יש  ⅕  מכלל העפרונות. ב-3 קלמרים יש ⅗ מכלל העפרונות.


מורה: מה מנסים ללמד אותנו מתוך התרשים?


תלמידים: יש שלם. כאשר מחלקים את השלם לשני חלקים שווים, כל חלק הוא חצי מהשלם. 
מורה: איזו צורה יש לשלם שלנו? 
תלמידים: עיגול. 
מורה: מהו השלם שלנו בציור? 
תלמידים: זה נראה כמו פיצה. 
מורה:  מי יכול לספר סיפור חשבוני על הפיצה? 
תלמידים:  שני חברים קנו פיצה. הם חילקו אותה ביניהם שווה בשווה. כל אחד מהם קיבל חצי מהפיצה. 
מורה: איך כותבים בחשבון: חצי? 
תלמידים:  ½   
מורה:  שימו לב. הכתיבה הזאת אומרת: יש לי שלם אחד - זה ה-1. חילקתי אותו ל-2 חלקים - שווים זה ה-2 שמתחת לקו. הקו עצמו מציין חיתוך, חילוק. כמו בכל חילוק גם בשברים, החלוקה היא תמיד לחלקים שווים. 
מורה:  לכמה חלקים שווים חילקו את הפיצה למטה? 
תלמידים:  ל-4. 
מורה: מה שמו של כל חלק? 
תלמידים:  רבע. 
מורה: אני מבקש סיפור חשבוני על הפיצה התחתונה. 
תלמידים:   4 ילדים קנו פיצה. הם חילקו אותה שווה בשווה ביניהם. כל ילד אכל רבע פיצה. 
מורה: איך כותבים בחשבון: רבע? 
תלמידים: ¼ 
מורה: ראינו איך כותבים חצי. ראינו שהאחד מעל הקו אומר: השלם. הקו אומר: חילוק. מתחת לקו אומרים לנו לכמה חלקים שווים חילקו את השלם. 
פירושו: שלם אחד לחלק ל-4 חלקים שווים.
אם אתם רעבים ואוהבים פיצה, עם איזו קבוצה הייתם רוצים להיות, זו שחילקה את הפיצה לחצאים, או זו שחילקה אותה לרבעים? 
תלמידים:  בטח שהייתי רוצה להיות בקבוצה של החצאים. 
מורה: למה? 
תלמידים: מקבלים יותר פיצה. 
מורה: למה? 
תלמידים: כל חתיכה תהיה גדולה יותר כשמחלקים לפחות חלקים שווים. אם לוקחים פיצה ומחלקים אותה לשני חלקים שווים, כל חלק יהיה גדול יותר מאשר אם נחלק אותה פיצה ל-4 חלקים שווים. אני אוהב פיצות, אני בוחר מיד להיות רק עם עוד חבר ולא לחלק את הפיצה שלי עם עוד 3 חברים. 
מורה: מה גדול יותר חצי או רבע?
תלמידים:   חצי יותר גדול מרבע. 
מורה: למה? 
תלמידים:  כאשר לקחו את הפיצה וחילקו אותה לשני ילדים, כל ילד קיבל חתיכה יותר גדולה מאשר אם היו מחלקים אותה פיצה ל-4 ילדים. 
תלמידים: [מתקדם] רבע זה חצי של חצי. החתיכה של הרבע היא חצי של החתיכה של החצי, כי חילקו את החצי לשני חלקים שווים, וקיבלו רבע. 
מורה: אתמול קניתי פיצה משפחתית ענקית, כזו:
 

מורה: והבוקר קניתי פיצה אישית כזאת

מורה: מה יותר גדול רבע מהפיצה של אתמול או חצי מהפיצה של היום?
תלמידים: זו לא חכמה. רבע של הפיצה מאתמול זה המון. חצי של הפיצה של היום זה מעט. 
מורה: מה אתם לומדים מזה? 
תלמידים: כאשר שואלים: מה יותר גדול: חצי או רבע? צריך לבדוק אם הם מאותו השלם. אם הם מאותו השלם אז קל לענות שהרבע קטן מהחצי. אחרת, צריך לבדוק את השלמים, כמו עם הפיצות שלך.

הפעלה


מורה: במחברת החשבון שלכם יש משבצות. נעזר בהן כדי לצייר צורה שיהיה לנו קל לציירה. איזו צורה זו יכולה להיות?
תלמידים: או ריבוע או מלבן. 
מורה: נבחר מלבן. כדי שכולנו נצייר אותו מלבן, נצייר מלבן שאורכו יהיה 12 משבצות ורוחבו יהיה 4 משבצות. אני מבקשת שתשתמשו בסרגל כדי שהמלבן יהיה ברור ומדויק. איך נחלק את המלבן לשני חלקים שווים? 
תלמידים:






מורה: כל התשובות נכונות. עכשיו נספור את המשבצות במלבנים שלנו. כמה משבצות יש? חפשו את הדרך היעילה ביותר למניין המשבצות. 
תלמיד: יש 12 משבצות לאורך, יש 4 שורות כאלה. עשיתי תרגיל של כפל 12 ב-4. קיבלתי 48 משבצות. 
תלמיד: אני חישבתי אחרת. בכל טור יש 4 משבצות. יש 12 טורים. 4 כפול 12 הם 48. 
מורה: מצוין. חשבתם נכון. עכשיו חצו את המלבן על ידי קו אופקי, לפי ההצעה הראשונה. כמה משבצות יש בחצי של המלבן? 
תלמיד: 24. 
מורה: איך חישבת? 
תלמיד: יש שורה של 12 משבצות, ויש עוד שורה כזאת. ביחד יש 24 משבצות. 
מורה: מישהו ספר אחרת? 
תלמיד: כן. אני ספרתי את המשבצות בטור אחד. היו 2 משבצות. כפלתי את 2 ב-12. גם אני קיבלתי 24 משבצות. 
מורה: עכשיו נבדוק מה קורה בחלוקה על ידי הקו המאונך. כמה משבצות יש בחצי של המלבן שלנו? 
תלמידים: 24. חישבתי בשני האופנים. ספרתי 6 משבצות בשורה וכפלתי ב-4. כדי לבדוק אם לא טעיתי, מצאתי שבכל טור יש 4 משבצות כפלתי 4 ב-6. בשתי הדרכים קיבלתי אותה תשובה: 24. 
מורה: נפנה לחלוקה על ידי האלכסון. איך נחשב את המשבצות של החצי? 
תלמיד: לא נוכל. האלכסון חותך את המשבצות. לא נשארות משבצות שלמות. 
מורה: נכון. האלכסון מחלק את המלבן לשני חלקים שווים, הוא חוצה את המלבן, אבל קשה לספור את המשבצות. בגלל זה נסתפק בינתיים בשני המלבנים הראשונים. בהמשך נלמד שיטות למדידת המשבצות גם כאשר הן אינן שלמות. מה למדנו מהספירה של המשבצות? זיכרו: במלבן השלם יש 48 משבצות, בחצי המלבן יש 24 משבצות. מה למדנו מזה? 
תלמיד: חצי של 48 הוא 24. 
מורה: איך נעשה החישוב? 
ת: 48 לחלק ל-2 שווה 24. 
מורה: לא משנה אם זו צורה או אם זה מספר. לא משנה גם איזו צורה תתקבל על ידי חלוקה לשני חלקים שווים. חשוב לדעת שכדי לקבל חצי צריך לחלק את הצורה או את המספר לשני חלקים שווים. ציירו מלבן אחר, כל אחד יבדוק את מספר המשבצות שהוא מכיל. אחר כך חצו אותו, כלומר, חלקו אותו לשני חלקים שווים. סיפרו כמה משבצות מכיל החצי. האם אותה חוקיות נשמרת גם בו? אם אנחנו רוצים שיהיה לנו קל לערוך את החישוב, איך כדאי לנו לבחור את מספר המשבצות? 
ת: כדאי לבחור מספר משבצות זוגי. 
מורה: למה? 
ת: אם מספר המשבצות יהיה זוגי, לא נצטרך לחצות משבצות. 
מורה: מי יכול לנסח במשפט אחד את מה שלמדנו? 
ת: למדנו שכדי למצוא חצי של משהו, צריך לחלק אותו לשני חלקים שווים. 
מורה: נתרגל את זה בסיפורים חשבוניים. המציאו סיפורי חשבון לפי החוק הזה. 
ת: אמא נתנה לי ולאחי 8 שקלים. חילקנו אותם בינינו שווה בשווה. כל אחד מאיתנו קיבל חצי מהסכום. כל אחד קיבל 4 שקלים. 
ת: יש לי עשרה עפרונות. חצי מהם נתתי לסמדר. כמה עפרונות נתתי לסמדר? 
ת: בחדר היו 20 ילדים. חצי מהם היו בנות. כמה בנות היו? 
ת: בארגז יש 30 תפוחים. חצי מהם ירוקים והשאר אדומים. כמה תפוחים מכל סוג יש בארגז? 

הערה 
אותו תהליך ייעשה לגבי רבע. לאחר סיפורי הילדים ייעשה תרגול: 
מורה: כמה זה רבע של 80? 
תלמיד: 20. 
מורה: איך עשית את זה? 
תלמיד: 80 זה השלם. כדי למצוא רבע שלו, צריך לחלק אותו ל-4 חלקים שווים. כל חלק הוא רבע. 
מורה: הפעם יש לי 40 שקל. כמה זה חצי של 40 שקל? 
תלמיד: 20 שקל. 
מורה: מה יותר גדול רבע של 80, או חצי של 40? 
תלמיד: הם שווים. 
מורה: כמה זה חצי של 80? 
תלמיד: 40. 
מורה: הַסְבֵּר. 
תלמיד: כדי למצוא חצי של שלם מחלקים את השלם ל-2. 80 לחלק ל-2 הם 40. 
מורה: כמה זה חצי של 40? 
תלמיד: 20. שוב, חילקתי את 40 ל-2. 
מורה: מה אפשר לומר על חצי של 40 לעומת חצי של 80? 
ת: הם לא שווים. החצי של ה-80 גדול מהחצי של ה-40. 
מורה: שימו לב, כאשר שואלים מה גדול יותר: חצי או רבע, מניחים שהם חייבים להיות מאותו שלם. 
מורה: מחיר פיצה הוא 10 שקלים. שני הילדים שאכלו אותה רצו לחלק ביניהם את התשלום שווה בשווה. כמה שילם כל ילד? 
תלמיד: 5 שקלים. 
מורה: איך חישבת את זה? 
תלמיד: חילקתי את 10 לשני חלקים שווים. 
מורה: נכון, חצי של 10 הם 5. 

למתקדמים
מורה: 4 ילדים אכלו פיצה שעלתה 10 ש"ח. הם חילקו ביניהם את התשלום עבורה שווה בשווה. כמה שילם כל אחד מהם? 
תלמיד: שניים וחצי שקלים. 
מורה: איך הגעת לתשובה הזאת? 
תלמיד: חישבתי כמה זה רבע של 10? חילקתי את 10 ל-4. 
מורה: מה דעתכם? 
תלמידים: זה נכון. רבע של 10 שקלים זה שניים וחצי שקלים. חילקתי את 10 השקלים ל-4. מצאתי הנה כך:




נשארו לי 2 שקלים שגם אותם צריך לחלק ל-4. כדי לחלק אותם מוכרחים לחלק כל שקל לחצי.  
מורה: איך הגעת לזה? 
תלמיד: חיפשתי איך לפרוט את שני השקלים כך שאוכל לקבל 4 חלקים שווים. 
מורה: פרט את התהליך. 
תלמיד: פרטתי את השקלים למטבעות של 10 אגורות. בכל שקל יש 10 מטבעות כאלה 
 ב-2 שקלים יש 20 מטבעות כאלה. חילקתי אותם ל-4 חלקים שווים. בכל חלק יש 5 מטבעות כאלה. 5 מטבעות של 10 אגורות שוות 50 אגורות. 50 אגורות הן חצי שקל. קיבלתי 4 מטבעות של חצי שקל. 
 כאשר מחלקים 2 שקלים ל-4 חלקים שווים מקבלים שבכל חלק יש חצי שקל. 
תלמיד: אני חישבתי אחרת. בכל שקל יש 2 מטבעות של חצי שקל, ב-2 שקלים יש 4 מטבעות של חצי שקל. 
מורה: שתי הדרכים נכונות. 
מורה: אולי נדגים בעזרת מקלות את החלוקה של 10 ב-4? 
תלמיד: יש לי פה 10 מקלות. 
אני מחלק אותם שווה בשווה בין יעלי, שרית, יותם ויזהר. 

הנה תעמדו פה. יעלי מקבלת מקל אחד, שרית מקבלת מקל אחד, יותם מקבל מקל אחד ויזהר מקבל מקל אחד. אני חוזר על הפעולה וממשיך לחלק. לכל אחד מהם יש עכשיו 2 מקלות. נשארו לי 2 מקלות שעדיין לא חילקתי. אני אתן מקל אחד ליעלי ולשרית ומקל אחד ליותם וליזהר, כדי שהם יחלקו את המקלות ביניהם. מוכרחים לשבור כל מקל לשני חלקים שווים. עכשיו יש חצי אחד ליעלי, חצי אחד לשרית, חצי אחד ליותם וחצי אחד ליזהר. כל אחד מהם קיבל שניים וחצי מקלות. 

מורה: זה היה הסבר מעולה. יש בידי מטבעות. אני מבקש שתדגימו לנו את החלוקה של 10 שקלים לארבעה ילדים בכסף. 
תלמיד: חוזר על פעולת החילוק ומדגים זאת במטבעות. 
מורה: אם כך, כמה שילם כל ילד בעבור החלק שלו בפיצה? 
תלמיד: שניים וחצי ש"ח.

הערה

מטרת השאלה על הכסף להבהיר לילדים מהתחלה שחצי, רבע וכו' אינם רק עניין לצורות. יש חצי ורבע של כמות.

פעילות

מורה: הפיצה שלי הפעם היא הנייר הזה. איזו צורה יש לנייר שלנו? 
תלמיד: ריבוע. 

קל להכין ניירות ריבועיים על ידי קיפול נייר פוליו כך:

וגזירת הנייר.

מורה: אני מבקש שתראו לי איך אפשר לקבל חצי של הפיצה.
מורה: אני רואה שחלק מכם קיבל משולש וחלק אחר קיבל מלבן. איזה מהם הוא חצי? 
תלמיד: שניהם חצי. בשני המקרים חילקנו את הריבוע לשני חלקים שווים. 
מורה: מה אנחנו לומדים מזה? 
תלמיד: כדי לקבל חצי של ריבוע צריך לחלק אותו לשני חלקים שווים. כל חלק הוא החצי של הריבוע. לא חשוב מה צורתו. 
מורה: עכשיו קחו את הריבוע והראו לי איך נוכל לקבל רבע של הריבוע? 
תלמיד: מבצעים את הקיפולים. [נעודד את הילדים לקפל באופנים רבים]
מורה: גם עכשיו אני רואה שחלק מכם קיבל משולש, חלק קיבל מלבן וחלק קיבל ריבוע. מי שקיבל משולש יציג לפני הכיתה כיצד חילק את הריבוע של הנייר ל-4 חלקים שווים. אני מבקשת שכולכם תחזרו על הפעולות שהוא עשה. נעשה אותו דבר עם רבע של הריבוע של הנייר,שהוא ריבוע ועם רבע של ריבוע של הנייר שהוא מלבן. 

הערה 

לפעילויות האלה זקוקים לניירות רבים. אפשר גם ללמד את הילדים איך לקפל גיליון נייר מלבני, ליצור ממנו ריבוע ולגזור את הריבוע שנוצר. פעילות כזאת חשובה לביסוס התחושה של הצורה אצל הילדים. 

פעילות 

מורה: אני מחלק לכם ניירות ריבועיים. קפלו אותם כך שתקבלו רבע. קחו עיפרון וציירו עם סרגל את קווי החלוקה. מספרו את הרבעים. כמה רבעים קיבלתם? 
תלמידים: 4. 
מורה: אם נסלק רבע אחד מכלל הרבעים, כמה רבעים יישארו? 
תלמידים: 3. 
מורה: עכשיו נדמיין שהריבוע הזה הוא פיצה ריבועית. אני אוכל ממנו 3 רבעים. את מה שנשאר אני אתן לריקי. איזה חלק ריקי תקבל? 
תלמידים: ריקי תקבל רבע אחד. בשלם יש 4 רבעים את אכלת 3, אז לריקי נשאר רבע אחד. 
מורה: מי אכל יותר, ריקי או אני? 
תלמידים: בטח שאתה. 
מורה: פי כמה יותר? 
תלמיד: פי שלושה יותר.

סיכום 
מורה: נסכם את מה שלמדנו עד עכשיו בשברים. 
  • למדנו שכדי לקבל שבר מחלקים שלם כלשהו למספר חלקים שווים. 
  • למדנו שהשלם יכול להיות צורה כלשהי ויכול להיות מספר כלשהו. 
  • למדנו שכדי לקבל חצי, מחלקים את השלם לשני חלקים שווים וכדי לקבל רבע מחלקים את השלם ל-4 חלקים שווים. 
  • כאשר מחלקים לשני חלקים שווים מקבלים חצי, כאשר מחלקים ל-4 חלקים שווים כל חלק הוא רבע. 
  • למדנו איך כותבים ½ או ¼.  
  • למדנו שהכתיבה הזאת של חצי פירושה: 1 מחולק לשני חלקים שווים. קו השבר מצביע על חלוקה, על חיתוך. כתיבת הרבע בחשבון פירושה: 1 מחולק ל-4 חלקים שווים. 
  • למדנו שחצי הוא חלק אחד מתוך שני חלקים שווים, ורבע הוא חלק אחד מתוך 4 חלקים שווים. 
  • למדנו שחצי גדול מרבע של אותו שלם, כי כדי לקבל חצי מחלקים את השלם רק לשניים, וכדי לקבל רבע מחלקים את השלם ל-4 חלקים שווים, לכן כל חלק קטן יותר מהחצי. 
  • למדנו שאפשר להשוות חצי לרבע רק אם השלם הוא אותו שלם. 
כתיבה של שברים

מורה: איזו צורה יש בתמונה? 
תלמידים: מלבן. 
מורה: המלבן שלמעלה הוא השלם. לכמה חלקים חילקו אותו? 
תלמידים: לשלושה חלקים שווים. 
מורה: מה שמו של כל חלק? 
תלמידים: שליש. 
מורה: ציירו במחברת שלכם מלבן וחלקו אותו לשלישים. כמה חלקים קיבלתם? 
תלמידים: 3. 
מורה: מה שמו של חלק אחד? 
תלמידים: שליש. 
מורה: כך כותבים שליש בחשבון: ⅓. מה פירוש הכתיבה הזאת? 
תלמיד: אחד מחולק ל-3 חלקים שווים. 
מורה: יפה. עכשיו קווקוו שני חלקים כאלה. כמה חלקים קיווקוותם? 
תלמידים: 2. 
מורה: כל חלק הוא שליש אחד. כמה הם 2 חלקים כאלה? 
תלמידים: שני שליש. 
מורה: איך נכתוב שני שלישים בחשבון?
תלמידים: ⅔

למתקדמים

זה דיון קשה מידי בשלב זה. אין צורך ליזום אותו. אבל אם מישהו מהילדים יעלה את הבעייה, חייבים לענות לו. 

תלמיד: אני לא מבין את הכתיבה הזאת. קודם אמרנו ששליש זה אחד מחולק ל-3. עכשיו אמרנו ששני חלקים שהם שליש כותבים כך:  ⅔  
למה זה לא 2 לחלק ל-3 חלקים שווים? זאת אומרת, למה לא פשוט כותבים 2:3?
מורה: אתם זוכרים שלפעולת החיסור יש מספר משמעויות. מי זוכר מה הן? 
תלמידים: גריעה, הפרדה, השלמה לשלם, ירידה, ספירה אחורה והשוואה. [להורים, ראו את הסיכום על משמעויות של פעולות החשבון במספרים טבעיים]
מורה: יפה. אלו משמעויות יש לחילוק? [להורים, ראו את הסיכום על משמעויות החילוק]
תלמידים: יש חילוק לחלקים ויש חילוק להכלה. 
מורה: גם לשברים יש כמה משמעויות. כאשר אנחנו אומרים שני שליש אנחנו מתכוונים לשני חלקים שכל אחד מהם הוא שליש ואנחנו כותבים את זה כך:⅔, אבל יש לשני שליש גם משמעות של חילוק 2 ל-3. ברגע זה אנחנו מדברים על המשמעות של שני חלקים מתוך שלושה חלקים שווים.

 למתקדמים
הורה: כמה זה חצי של 50?
ילד: 25.
הורה:  כמה זה רבע של 16?
ילד:  4.
הורה:  כמה הם שלושה רבעים של 16?
ילד:  12.
הורה:  הסבר איך חישבת זאת.
ילד:  16 זה השלם. חילקתי אותו ל-4 חלקים שווים וקיבלתי שרבע אחד של 16 הם 4. 3 רבעים של 16 הם 3 פעמים 4. כלומר, 12.
הורה:  כמה הם שני שליש של 15?
ילד: חילקתי את 15 ל-3 וקיבלתי ששליש אחד של 15 שווה 5. שני שלישים של 15 הם פעמיים 5. כלומר: 10.

מבחר בעיות לתלמידים מתקדמים

1) בספר יש 30 עמודים. 2/3 מהם צבעוניים. כמה עמודים צבעוניים בספר? כמה עמודים ללא צבע בספר?
דיון לאחר שהילדים פתרו את הבעיה 
הורה:  איך פתרתם את הבעייה? 
ילד: [יהב] 30 העמודים של הספר הם השלם. כדי למצוא 1/3 מהם חילקתי את 30 ל-3. קיבלתי 10. 10 עמודים הם 1/3 של הספר. 2/3 מהעמודים הם צבעוניים, לכן 20 עמודים הם צבעוניים. 10 עמודים הם 1/3 אחד, 2/3 הם פעמיים 1/3. 20 עמודים הם צבעוניים. בספר יש 30 עמודים, אז 10 עמודים הם ללא צבע. מצאתי את ההפרש בין הצבעוניים לכלל הספר. 
ילד: [הילי] אני פתרתי קצת אחרת. כדי למצוא 1/3 של 30 חילקתי את 30 ל-3. קיבלתי ששליש של 30 זה 10. אני יודעת ששני שליש צבעוניים, לכן שליש אחד הוא ללא צבע. אם אני יודעת ש-10 עמודים הם ללא צבע, אז אני מחסרת אותם מ-30. 20 עמודים צבועים. 
ילד: אני פתרתי אחרת. מצאתי 2/3 של 30, כמו יהב. חילקתי את 30 ל-3, כדי למצוא כמה זה 1/3 של 30 ומה שקיבלתי כפלתי ב-2, כדי למצוא 2/3 של 30. אחר כך המשכתי קצת כמו הילי. אם 2/3 צבועים, אז 1/3 אינם צבועים. ידעתי ששליש מהספר הם 10 עמודים. אז ידעתי ש-10 עמודים אינם צבועים. אני אפילו בדקתי אם התשובה נכונה. חיברתי 10 עם 20 וראיתי שקיבלתי את מספר עמודי הספר כולו. 

2) 1/5 מהילדים בכיתה נולדו בחורף. כמה ילדים נולדו בחורף אם בכיתה יש 35 ילד? כמה ילדים נולדו בעונות האחרות של השנה? 
3) ילד קיבל 21 ש"ח דמי כיס. ב-2/7 מהם קנה פנקס. כמה עלה הפנקס? כמה כסף נשאר לו? 
4) 3/8 מהספרים של יוחאי הם צבעוניים. ליוחאי יש 48 ספרים. כמה ספרים לא צבעוניים יש ליוחאי?
דוגמה לדיון שמתרחש לאחר הפתרון 
הורה:  איך עבדתם? 
ילד: [יהל] אם 3/8 מהספרים הם צבעוניים, אז 5/8 מהספרים הם לא צבעוניים. חישבתי מיד כמה הם 5/8 מ-48. חילקתי את 48 ל-8 כדי לקבל ערך של 1/8 אחת. ראיתי ששמינית מהספרים זה 6 ספרים. 5/8 הם 5 פעמים 1/8, אז כפלתי את 6 ב-5 כדי לקבל ישר את מספר הספרים לא צבועים. 6 כפול 5 הם 30. 30 ספרים לא צבועים יש ליוחאי. 
הורה:  מישהו פתר אחרת? 
ילד: [שירה] כן. אני חיפשתי כמה זה 3/8 של 48. חילקתי את 48 ל-8 וקיבלתי 1/8 אחת של 48, שהיא 6. כפלתי את 6 ב-3 וקיבלתי 18. אלו הם הספרים הצבעוניים. החסרתי מ-48 את 18 הספרים הצבעוניים וראיתי שיש ליוחאי 30 ספרים לא צבעוניים. 
הורה:  ההסבר של שניכם מעולה. 
5) תלמיד לומד בשבוע 42 שעות. 5/7 מהן מוקדשות לחשבון ולעברית. כמה שעות שבועיות מוקדשות לחשבון ולעברית? 
סיכום

ראינו איך אפשר ללמד שברים בכתה ב' לכול וגם למתקדמים. השמשנו במה שלמדנו על משמעויות של פעולות החשבון. הצגנו דוגמאות למפגשים עם ילדים כדי ללמד את החומר באופן הדרגתי כאשר ההורים מציגים את הבעיות ומנחים והילדים חושבים ומגיעים לתובנות, לפי הצורך ההורה מתקן או שואל שאלות נוספות. 

המורה,
שלמה יונה

* הדיאלוגים, גישת ההוראה והרעיונות רובם ככולם של המורה הנפלאה תלמה גביש שממנה אני לומד שנים רבות ואינני מפסיק ללמוד גם היום. ברשותה אני משתמש בחומרי הלימוד שהיא פיתחה



משמעויות החילוק במספרים טבעיים


משמעויות של פעולת החילוק במספרים טבעיים


במפגש הקודם בסדנה עברנו ביעף על משמעויות של חיבור, חיסור וכפל במספרים טבעיים ונגענו בעקרונות חשובים בהוראתם. יש עוד המון שלא עסקנו בו והמתעניינים מוזמנים לפנות אליי ואפנה אותם להרחבות ולהעמקה בנושאים הללו.

ראינו כבר שבמתמטיקה כמו בשפה יש גם ריבוי משמעויות: כמו שבעברית אפשר לקרוא את המילה אחות שמשמעותה יכולה להיות אחות רפואית או אחות במשפחה או אחות נזירה וכך הלאה גם לסימנים במתמטיקה יש מספר משמעויות. איך יודעים מה המשמעות המתאימה? כמו בשפה, לפי ההקשר!

כמו שראינו בפעולות החשבון: חיבור, חיסור וכפל, עד כה יש פנים רבות ואנחנו מוצאים את עצמנו משתמשים באותה הפעולה בעקבות תהליכי מחשבה שונים -- כך גם בחילוק: תהליך החשיבה שונה מעיקרו אך לבסוף אנו מגיעים לאותה פעולת החילוק.

ניזכר בכפל

ראשית, ניזכר בפעולת הכפל: פעולת כפל היא קיבוץ של קבוצות שוות גודל לשלם אחד. את הקיבוץ מבצעים באמצעות פעולת חיבור. לכן פעולת הכפל היא פעולה שמשמעותה חיבור חוזר של קבוצות שוות גודל.


את הכמות הכוללת של העגבניות אפשר למצוא בעזרת חיבור חוזר של קבוצות שוות גודל:
או למצוא בקיצור באמצעות פעולת כפל:
הנה תרשים שמתאים לתיאור הפתרון שלנו:
ותרשים כללי יותר שמתאר את פעולת הכפל: 
למכפלה ולנכפל אותו הכינוי. לכופל אין כינוי משום שהוא מונה את מספר הקבוצות.

הערה חשובה להורים: למעשה: יש לכופל יחידות, במקרה שלנו, היחידות הן צלחות והיחידות של הנכפל הן צלחת/עגבניות (עגבניות בצלחת) ומתוך חשבון יחידות נקבל ש-3 צלחת כפול 4 צלחת/עגבניות הן 12 עגבניות (כפלנו 3 ב-4 וקיבלנו 12 ואת היחידה צלחת שבכופל צימצמנו עם היחידה צלחת שבנכפל. משום המורכבות, אנחנו איננו מתעסקים בזה כשלב הזה ושומרים את הדיון לשלב מתקדם יותר, למשל בעת העיסוק בבעיות הספק בכיתות ה'-ו'.
ועכשיו, החילוק


הנה בעיה חשבונית:
750 מתלמידי בית ספר יצאו לביקור בבית התפוצות. לצרכי הדרכה הם התפצלו לקבוצות של 25 תלמידים בכל קבוצה. לכמה קבוצות התפצלו?
הפעולה שתוביל לפיתרון היא פעולת החילוק.
750 הוא המחולק, כי הוא מקבל הפעולה: מחלקים אותו.
25 הוא ההמחלק, כי הוא מבצע הפעולה.
התוצאה הסופית היא המנה. מנה היא תוצאה של תרגיל חילוק.


המציאו בעייה שבה המחולק יהיה 96 והמחלק יהיה 8. מה תהיה המנה?
מדוע חשוב לְכַנוֹת בְּשֵם את המחלק, המחולק והמנה?

השיום (מתן השם) עוזר לנו בתיקשורת. אנחנו יכולים להבין טוב יותר אחד את השני, אפשר לדעת לְמה מתכוונים. זה גם עוזר לנו להבין, כי אנחנו יודעים להבחין טוב יותר בין מקבל את הפעולה – הסביל , לבין עושה הפעולה – הפעיל. כאשר יש שמות לדברים קל יותר לזכור אותם. זה יכול לעזור לנו בקריאת בעיות שבהן מופיעות המילים האלה.


לחילוק במספרים טבעיים יש שלוש משמעויות:

  1. חילוק לחלקים שווים
  2. חילוק להכלה
  3. חילוק כמבטא יחס
 נדון עתה בשתיים מהן: חילוק לחלקים ו-חילוק להכלה 


הנה סרטון שמדגים הקניית הנושא:




חילוק לחלקים שווים

בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

בכפל, השלם הוא מכפלה.
בחילוק, השלם הוא המחולק.
החיצים מציינים את מספר הקבוצות: בכפל, זהו הכופל; בחילוק לחלקים הוא המחלק.
בכפל, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא הנכפל. בחילוק לחלקים, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא המנה.
נתון שלם ומספר קבוצות שוות גודל של אותו השלם.בחילוק לחלקים אנו מחשבים את מספר הפריטים בכל קבוצה.
הבעיה החשבונית:
בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

התרגיל המתאים:
תשובה:
4 עגבניות בכל קערית.

חילוק לחלקים הוא זה שאנו מורגלים בו יותר בחיי היומיום. אנחנו רגילים לחלק עצמים שווה בשווה בין מספר ידוע מראש של אנשים, למשל, 6 ממתקים מחולקים שווה בשווה בין 2 אחים, אז כמה ממתקים יקבל כל אחד משני האחים?
התרגיל, כמובן, 6:2. בחילוק לחלקים שבו אנו מבצעים 6:2 אנו מחלקים 6 עצמים ל-2 קבוצות שוות גודל, ושואלים כמה בכל קבוצה. התוצאה היא 3 ופירושה: שתי קבוצות שכל אחת מהן בעלת 3 עצמים וביחד יש 6 עצמים. כלומר, 2 פעמים 3 הם 6 (או בחיבור 6=3+3). 6 הוא המחולק (כי אותו מחלקים), 2 המחלק (כי הוא מחלק: קובע את מספר הקבוצות שוות הגודל) ו-3, המנה, קובע כמה איברים בכל קבוצה.

חילוק להכלה

הבעיה החשבונית:
בקערה יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בקעריות. בכל קערה הנחנו 4 עגבניות. בכמה קעריות השתמשנו?

התרגיל המתאים:

תשובה:
השתמשנו בשלוש קעריות.

בחילוק להכלה למחלק ולמחולק יש את אותו הכינוי,כי הקבוצות החלקיות מורכבות מאותם הפריטים שבונים את השלם. 
בחילוק להכלה אנחנו מחשבים כמה פעמים 12 מכיל את 4 (כמה פעמים 4 "נכנס" ב-12).

בסוג השני של החילוק מתהפכים התפקידים בין מספר הקבוצות לבין מספר האיברים בכל קבוצה. הפעם נתון מספר האיברים בכל קבוצה ומבוקש מספר הקבוצות. למשל, אמא חלקה 6 ממתקים בין ילדיה. כל אחד קיבל 2 ממתקים. כמה ילדים יש לה?
התרגיל הוא 3=6:2, אבל הפעם הוא עונה לשאלה אחרת. בחילוק לחלקים שאלנו: 6 עצמים חולקו ל-2 קבוצות, כמה עצמים יהיו בכל קבוצה? ואילו בחילוק להכלה השאלה היא: חילקנו 6 עצמים כך שבכל קבוצה יש 2, כמה קבוצות יש?
אפשר לבטא זאת כך: כמה פעמים נכנס 2 ב-6, או כמה פעמים מוכל 2 ב-6? מכאן שם הסוג הזה של החילוק, חילוק להכלה. התשובה 3 משמעותה ש-3 קבוצות בגודל 2 מכילות יחד 6. כלומר, 3 פעמים 2 הם 6 (בחיבור: 6=2+2+2).
נבחין שהבדל בין שתי המשמעויות הוא בהבדל בין 2 פעמים 3 לבין 3 פעמים 2.

דוגמה נוספת להקניית ההבדלים בין חילוק לחלקים לבין חילוק להכלה



הנה שתי בעיות, השוו ביניהן:

בעייה ראשונה:
ליוסי היו 60 בולים. הוא חילק אותם שווה בשווה ל- 6 חברים. כמה קיבל כל חבר?
בעייה שנייה:
ליוסי היו 60 בולים. הוא חילק אותם שווה בשווה בין כל חבריו. כל חבר קיבל 6 בולים. כמה חברים יש ליוסי?
ילדים: בשתיהן יש פעולת חילוק.
הורה: כבר ראינו שאפילו אם הפעולה החשבונית היא אותה פעולה, יכול להיות הבדל בתהליך שהוביל אותנו לפעולה הזאת. כדאי לבדוק את זה גם כאן.
ילדים: אמרת שבתהליך ההשוואה צריך להתייחס גם לשווה וגם לשונה. מצאתי את השווה: המספרים שווים, הפעולה היא חילוק והתוצאה המספרית שווה.
הורה: ומה שונה?
ילדים: בשאלה הראשונה מחלקים בולים לילדים. בשאלה השנייה מחלקים בולים לבולים.
הורה: אני מבין איך אפשר לחלק בולים לילדים. הנה אני אקח 10 בולים ואחלק אותם לחמשת הילדים היושבים כאן (מחלק). זוהי פעולת חילוק. כמובן שאני מחלק שווה בשווה. אין בפעולת חילוק אפשרות לחלק לחלקים לא שווים. (אוסף את הבולים) עכשיו אני רוצה לחלק לפי הבעיה השנייה. איך אחלק את הבולים שבידי לבולים? מה למעשה אני עושה?
ילדים: אתה מחפש כמה פעמים קבוצות של 6 בולים נכנסות לתוך הקבוצה הכוללת של 60 הבולים.
הורה: ננסח זאת קצת אחרת. אני רוצה לבחון כמה פעמים הקבוצה של 60 הבולים מכילה בתוכה את הקבוצות בנות 6 הבולים. מספר הפעמים שקבוצה הגדולה מכילה את הקבוצות הקטנות נותן את מספר החברים. עכשיו כבר נוכל לשיים את שתי הפעולות וגם להבין יותר טוב את שני הסוגים של תהליכי החשיבה. האם מישהו מכם מוכן לסכם את מה שלמדנו עד עכשיו?
[הילדים מסכמים]
הורה: ראינו שיש שני סוגים של חילוק. גם אם המספרים זהים, המחשבה שונה. בחילוק אחד אנחנו מחלקים ממש, בשני אנחנו מחפשים כמה פעמים הקבוצות שוות הגודל נכנסות לקבוצה הכוללת. 
הורה: לבעיה מהסוג הראשון קוראים: חילוק לחלקים, לבעיה מהסוג השני קוראים חילוק להכלה.
הורה: למה חשוב לשיים את הבעיות?
ילדים: יהיה לנו יותר קל לזכור את סוג הבעיה וגם נוכל למיין לאיזה סוג היא שייכת.
הורה: מה יתרום לנו המיון?
ילדים: כאשר אנחנו יודעים לאיזה סוג שייכת הבעיה זה מוביל אותנו לפתרון.
ילדים: זה יעזור לנו בתשובה הסופית, נדע מה הן היחידות. זה עוזר גם לביקורת.
ילדים: המיון עוזר לי להבין. השיום עוזר לי לזכור.
הורה: כל התהליכים האלה ביחד יש להם שם אחד: הפנמה. 
ילדים: אנחנו רואים שאפשר להגיע לפעולת החילוק על ידי תהליכי חשיבה שונים. למעשה החילוק הוא עוד פעולה מחשבתית – הוא מבטא יחס. את זה למדתם בכפל, למשל, פי כמה 15 גדול מ – 3 . איזו פעולה צריך לעשות כדי שנדע את היחס בין 15 ל – 3 ?
ילדים: חילוק.
הורה: נכון, חילוק מבטא גם יחס. מי עכשיו יכול לסכם את כל הידוע לנו על החילוק?
ילדים: החילוק בחשבון אפשרי רק כאשר מחלקים לחלקים שווים.
- לחילוק, כך גילינו עד עכשיו, יש כבר 3 משמעויות שונות: יש חילוק לחלקים, יש חילוק להכלה ויש חילוק שמבטא יחס.
הורה: במה אפשר להיעזר כדי לזהות את סוג הבעייה שלפנינו?
ילדים: בכינויים. אם למחולק ולמחלק אותו כינוי – זהו חילוק להכלה.
אם למחולק ולמחלק כינויים שונים – זהו חילוק לחלקים.
הורה: למה בחילוק להכלה חייב להיות אותו כינוי לאיברי הקבוצה הכוללת ולאיברי הקבוצות הכלולות?
ילדים: בהכלה אנחנו בודקים כמה פעמים נכנסות תת-הקבוצות לקבוצה הכוללת. תת-הקבוצות בנויות מאותם האיברים של הקבוצה הכוללת, לכן יש להן אותו כינוי.
הורה: מישהו יכול לתת לנו דוגמה?
ילדים: 
חילוק לחלקים:
היו לי 40 מחברות. חילקתי אותן שווה בשווה ל – 8 חברים. כמה קיבל כל חבר?
5 מחברות = 8 חברים : 40 מחברות
חילקנו מחברות לחברים – הכינויים שונים.

חילוק להכלה:
היו לי 30 ספרים. חילקתי אותם שווה בשווה בין חבריי, כל חבר קיבל 6 ספרים. לכמה חברים חילקתי את הספרים?
5 חברים = 6 ספרים : 30 ספרים
חילקנו ספרים לספרים – הכינויים שווים. זהו חילוק להכלה.
הורה: יפה. עכשיו עלינו לחזור למיגרש המישחקים. מה עלינו לבדוק?
ילדים: עלינו לבדוק אם חוקי החילוק במספרים הטבעיים אפשריים בכל מיגרש המישחקים.
מורה: איך נעשה זאת?
ילדים: ננסה לבדוק מספר תרגילים .
הורה: הציעו תרגילים.
[מציעים]
הורה: בכל התרגילים שהצעתם המחולק גדול מהמחלק. בואו נראה מה קורה אם המחולק קטן מהמחלק. מי יכול להמציא בעיה חשבונית שבה מחלקים מספר קטן במספר גדול ממנו?
ילדים: אי אפשר. תמיד מחלקים מספר גדול במיספר קטן ממנו.
הורה: אני אספר לכם סיפור חשבוני שבו נחלק מספר קטן לגדול ממנו.
קניתי 2 פיצות והיינו 3 אנשים. חילקנו בינינו את הפיצות שווה בשווה. כמה קיבל כל אחד מאיתנו?
ילדים: 2 לחלק ל-3.

הורה: הפעולה אמנם נכונה, אבל מה תהיה התשובה שלכם?
ילדים: אין תשובה אחרת.
הורה: יש תשובה, אבל היא לא במיגרש של המספרים הטבעיים. התשובה היא  ⅔  כלומר : שני שלישים, כי 2 לחלק ל-3 הוא 2:3 וזה בדיוק  ⅔ . הקו המפריד בין 2 לבין 3 מציין פעולת חילוק. הוא מזכיר לנו חיתוך, כמו החתך שמתקבל בעת שמחלקים עוגה. נכנסנו למיגרש של המספרים השבורים. עד עכשיו טיפלנו במספרים הטבעיים, שהם מספרים שלמים וחיוביים, עכשיו ראינו שיש מספרים נוספים והם: שברים פשוטים

למה אי אפשר לחלק ב-0?

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר, יחסית, בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נסמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

מה המשמעות של חלוקה במספר שאינו שלם?

* שימו לב שכאשר המחלק אינו מספר טבעי, אלא שבר פשוט או מספר מעורב, אנחנו מאבדים את האינטואיציה. מה זה, למשל, חמישית לחלק לשמינית? נרחיב ונעמיק בשיעור נפרד בנושא בהמשך הסדנה, כשנטפל בשברים. רמז: חשבו על החילוק להכלה...


משמעויות נוספות של החילוק




עסקנו ב-חילוק לחלקים וב-חילוק להכלה אולם ישנן משמעויות נוספות לחילוק. 





מתוך המאמר של תלמה גביש: "על החילוק של המספרים הטבעיים"




חילוק כמבטא יחס

בעיה חשבונית:
יש לי 12 עגבניות. יש לי 3 קעריות. מה היחס בין כמות העגבניות לבין כמות הקעריות?
היחס הוא 12:3
איך הגענו לתשובה? ביצענו פעולת חילוק: 4=12:3.
התוצאה היא מספר חסר כינוי.
יצאנו מהנתונים המספריים והגענו ליחס.

לפנינו עובד אשר מרוויח 1000 ש"ח. מה נוכל לומר על מצבו?
לא נוכל לומר דבר בעל משמעות כי איננו יודעים ביחס למה להעריך את שכרו של העובד שמשתכר 1000 ש"ח. אם למשל היו בידינו נתונים על השכר הממוצע בעבור עבודה שמבצע עובד כזה אז יכולים היינו להעריך האם הוא משתכר פחות מידי, יותר מידי, או שכר הגון.

בעיה חשבונית:

בחוגי סיירות משתתפים 450 ילדים. בחוגי מחשבים משתתפים 90 ילדים. פי כמה  גדול מספר המשתתפים בחוגי הסיירות לעומת מספר המשתתפים בחוגי  המחשבים?


אפשר לנסח את השאלה גם פי כמה קטן מספר המשתתפים בחוגי המחשב מזה  שבחוגי הסיירות. התרגיל ישאר אותו התרגיל.
למחלק ולמחולק יש מכנה משותף, אך המנה היא מספר טהור, חסר כינוי.

בבעיה הזאת מצאנו את היחס בהנתן שני גדלים כמותיים.

בעיה חשבונית:
בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 יותר ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?

אנו זוכרים שהמילה פי מבטאת יחס. זו בעיה שפתרונה דורש כפל (ולא חילוק) ה-280 ב-7.
התרגיל:
בעיה חשבונית אחרת:

בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 פחות ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?
פה נזדקק לחילוק כי יש כאן רמז לשון: "פי כמה פחות"


עכשיו נראה תרגיל שמופיע בו רמז לשון "פי 3 יותר" ונזדקק דווקא לחילוק. למרות המילה יותר הפעולה מחייבת הקטנת הגודל הכמותי על ידי חילוק:
לתמי יש בקופת החיסכון שלה 540 ש"ח. לתמי יש פי 3 יותר כסף בקופת החיסכון שלה מאשר ליותם. כמה כסף יש ליותם בקופת החיסכון שלו?
חשוב שנבין מהי נקודת המוצא לקביעת היחס ולפיה נדע מהי הפעולה החשבונית שיש לבצע.

המכנה המשותף בין הכמויות מאפשר את קביעת היחס -- ללא המידה המשותפת לא ניתן לקבוע יחס בין הכמויות. המכנים המשותפים בין המחלק לבין המחולק הם הבסיס להשוואה.

נתבונן בבעיה שבה נצטרך להביא את הכמויות למכנה משותף שבלעדיו לא נוכל לקבוע את היחס:
תייר הביא עמו 700 ש"ח וחברו הביא עמו 1400 דולר. מה היחס בין כמויות הכסף שבידיהם?

קביעת היחס תחייב המרת הערכים בין המטבעות ממטבע אחד לאחר או מכל מטבע למטבע שלישי, רק כך נוכל לקבוע את היחס שבין הכמויות.

ללא מידה משותפת לא ניתן לקבוע יחס
ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. נזכיר כעת גם משמעות נוספת של חילוק (שגם היא בעצם יחס)



חילוק כהקטנה

ילד קיבל 12 עגבניות ואילו חברו קיבל פי שלושה פחות מהראשון. כמה עגבניות קיבל החבר?
התשובה: 4 עגבניות לחבר. ביצענו פעולת חילוק 4=12:3
אנו יוצאים מהיחס ומגיעים למספר שנובע מהיחס.
יש קשר הפוך בין המשמעות השלישית לבין המשמעות הזאת, הרביעית: שתי המשמעויות הן פועל יוצא של אותה הפעולה -- החילוק.

היחס בין מספר התלמידים בין ישוב א' לבין ישוב ב'  הוא 1:8. בישוב ב' לומדים 560 תלמידים. כמה תלמידים לומדים בישוב א'?

הגודל הכמותי הנתון: 580 תלמידים. זהו שלם אחד.
היחס הוא 1:8.
הגודל הכמותי שנובע מהנתונים (חישוב ערכו של השלם השני).
כאמור, ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. גם במשמעות זו.




סיכום ההבדלים בין המשמעויות של החילוק: לחלקים להכלה ויחס
בחילוק אין מכנה משותף למחלק, למחולק ולמנה

כמה סוגים של חילוק אנחנו מכירים?
  1. חילוק לחלקים
  2. חילוק להכלה
  3. חילוק כיחס
החילוק כיחס מתחלק ל:
     א. מציאת היחס על פי שני גדלים כמותיים
     ב. מציאת גודל כמותי על פי גודל כמותי נתון והיחס בין שני הגדלים הכמותיים


להרחבה בנושא החילוק
למי שמתעניין בחילוק ארוך, חשיבותו והוראתו
הורים ומורים מוזמנים לפנות כדי לקבל חומר נוסף על הוראת המשמעויות של פעולות החשבון במספרים טבעיים לרבות מערכי שיעור וכן לשאול שאלות ולהתייעץ. אעזור כמיטב יכולתי. 

המורה,