משמעויות ארבע פעולות החשבון במספרים טבעיים

משמעויות ארבע פעולות החשבון במספרים טבעיים

4 פעולות החשבון מתוך ויקיפדיה

במפגש הפעם נעסוק במשמעויות של 4 פעולות החשבון במספרים טבעיים. ההבנה המתמטית של כל אחת מפעולות החשבון מתחילה במשמעות הפעולה ובקשר שלה למציאות, או במילים אחרות, איזה סוג של פעולה חשבונית מתאים לפתרון בעיות שונות במציאות.  כאשר בשלב מוקדם של הלימוד הילדים רואים כיצד מצבים שונים מובילים לאותו הפתרון וכיצד אותו התרגיל מייצג בעיות שונות הם מסוגלים לגשת לפתרון בעיות מגוונות ביעילות, בביטחון ומתוך הבנה.

ממבט בספרי לימוד ובמחברות של תלמידים בבית ספר יסודי נדמה לי שיש הנחה שהעיקר בלימודי החשבון הוא פתרון טכני של תרגילים. זה אמנם חשוב ושימושי, אבל מחשבונים ומחשבים עושים זאת במהירות רבה יותר, ביעילות רבה יותר וללא טעויות. -- המיומנות החשובה ביותר דווקא מוזנחת והיא היכולת לקבל בעיה בשפה טבעית, להבין מהו מידע עודף ושאינו רלוונטי ומה המידע הנחוץ ואיזה מידע חסר ומשם להבין מהו התרגיל או מהי סדרת התרגילים שיש לנסח ולפתור כדי להגיע לפתרון (או לידיעה שיש יותר מפתרון אחד או שאין פתרון) -- לעתים יש יותר מדרך אחת לפתור ואז יש צורך להעריך מהי השיטה היעילה בהקשר שתביא לפתרון טוב ומוצלח. תלמידים צריכים ללמוד לחשוב. תלמידים צריכים להיות מסוגלים גם להמציא בעיות מתאימות ולפתור אותן.

קשרים בין מספרים

שלב ראשון:

מציגים בפני הילדים חפצים בחדר או בכתה ומבקשים מהם לספר סיפור חשבוני על אודות הפריטים.

שלב שני:

מציגים בפני הילדים תמונה ומבקשים מהם לספר סיפור חשבוני לפי התמונה.

מהו סיפור חשבוני? 

סיפור חשבוני מתאר קשר חשבוני כלשהו בין מרכיביו. בסיפור חשבוני נשתמש במידות ובכמויות וביחסים ביניהם כדי לתאר מצב. 

לדוגמה:

יש בחדר 4 אנשים, שני מבוגרים ושני ילדים.

אפשר להפוך סיפור חשבוני לבעיה חשבונית. בעיה חשבונית מקבלים מסיפור חשבוני שבו מוצגת גם שאלה שיש לענות עליה. 

לדוגמה:

יש בחדר 4 אנשים: שני מבוגרים והשאר ילדים. כמה ילדים?

לסיפור החשבוני אפשר להמציא בעיות חשבוניות רבות לפי ה-"תרגיל" שיפתור את הבעיה ולפי המשמעות. 

הילדים לומדים למצוא את הקשרים המספריים בין פריטים, את היחס בין השלם לחלקיו, את ההפרדה של מספר למרכיביו ואת ההרכבה של מספר ממרכיביו. הפרדה זו תשמש בסיס לפעולת החיסור ולחשיבה ממיינת. הילדים לומדים לנסח מערכות של יחסים מספריים ולרשום אותן בסקיצה של שלם וחלקיו, לתרגם סקיצה למצב נתון ולהיפך. הם לומדים שיש מספר היבטים לאותה תופעה, השלמת מספר ל-10 ולמספרים אחרים (בסיס לחציית גבול העשרת ולמשוואות).

דוגמה עם חיבור:

הורה: מה הסיפור החשבוני שאפשר לספר?

ילד: באקווריום אחד יש 3 דגים, באקווריום השני יש אפס דגים. ביחד יש בשני האקווריומים 3 דגים.

הורה: כתבו את התרגיל

ילד: 3=3+0

הורה: מי רוצה לספר את הסיפור הזה אבל בסדר אחר? להתחיל מהאקווריום הריק.

ילד: באקווריום אחד היו אפס דגים.  באקווריום השני היו 3 דגים. בסך הכול היו 3 דגים.

הורה: איך נכתוב עכשיו את התרגיל?

ילד: 3=3+0

הורה: בבית הספר ראיתם הרבה מאוד תרגילים של חיבור, לפעמים יש גם סיפורים. יש מסקנה שמתאימה למה שראינו פה ולפי מה שראיתם וששמעתם בבית הספר?

ילד: בתרגילי חיבור אפשר להחליף את סדר המחוברים והסכום יישאר אותו הסכום.

הורה: איך קוראים לכלל הזה?

ילד: חוק החילוף

הורה: למה השם הזה?

ילד: כמו שאמרתי, כי אפשר להחליף את סדר המחוברים והסכום זהה. 

הורה: אפשר לתת דוגמה נוספת?

ילד: כן. למשל, 5=2+3 ו- 5=3+2 

ילד: [שגוי חלקית] רואים ששתיים ועוד שלוש וששלוש ועוד שתיים זה אותו הדבר: חמש.

הורה: זה אותו הדבר בתוצאה. לא תמיד זה אותו הדבר במשמעות. למשל, הצע סיפורים חשבוניים לתמונה הבאה: ספר את העובדות שרואים בתמונה:

ילד: שלוש ציפורים נחות על הקרקע ושתי ציפורים נוחתות.

הורה: יש עוד הצעות?

ילד: בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים.

הורה: מה ההבדלים בין הסיפורים?

[דיון]

הורה: איך תסכם את הדיון?

ילד: בסיפור הראשון הצטרפו לקבוצת הציפורים שעל הקרקע עוד שתי ציפורים ואילו מהסיפור השני נדמה שהציפורים מההתחלה היו באותה הקבוצה.

הורה: בעיה חשבונית היא סיפור חשבוני שמציג בסופו שאלה שיש לענות עליה. נא להציג בעיה חשבונית לסיפור הראשון.

ילד: שלוש ציפורים עומדות על הקרקע. שתי ציפורים נחתו והצטרפו. כמה ציפורים יש לנו בסך הכול?

הורה: מה התרגיל שמתאים לבעיה החשבונית?

ילד: 5=3+2

הורה: ומה בנודע לבעיה חשבונית לסיפור השני?

ילד: בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים. כמה ציפורים בתמונה בסך הכול?

הורה: ותרגיל מתאים?

ילד:: 5=3+2

הורה: התרגיל, אותו התרגיל, המשמעות שונה בשני המקרים.

בחיבור דינמי הצירוף הוא שינוי מצב:

שלוש ציפורים נחו על הקרקע ושתיים הצטרפו. כמה יש עכשיו?

בחיבור סטטי הצירוף מבטא חלוקה לסוגים:

בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים. כמה ציפורים בתמונה בסך הכול?

יש בין המורים שמכנים את החיבור הדינמי סרט ואילו את החיבור הסטטי מכנים תמונה.

חיבור

בכתה א' מציגים לילדים את שתי פניו של החיבור: חיבור כהוספה (מספרים מונים) וחיבור כספירה (מספרים טהורים). הילדים לומדים להסתמך על הגדרה של פעולה ליצירת סיפורים חשבוניים. הם לומדים להסתמך על נתונים ציוריים (בנוסף לאמצעי המחשה אחרים המצויים בידיהם) כדי להנות סיפורי חשבון ולתרגמם לתרגילי חשבון שמייצגים את היחסים המתאימים ולתרשים שמתאר את היחסים בין השלם לחלקיו. ראינו גם הבדל בין חיבור ססטי (תמונה) לחיבור דינמי (סרט) בדוגמה הקודמת. 

אופן המנייה

את החיבור אפשר לתאר באופן מעשי בשני אופנים:

1. איחוד של שתי קבוצות, וספירה של מספר האיברים בקבוצה המאוחדת -- לדוגמה, איסוף ילדי שתי כיתות לאולם בית הספר, וספירת מספר התלמידים בקבוצה המשותפת, מההתחלה
2. שינוי של קבוצה אחת, שמוסיפים לה עוד איברים -- לדוגמה, העברת ילדי הכיתה האחת לחדר הכיתה השנייה בזה אחד זה. כאן המנייה של מספר התלמידים בסך הכול הוא מניית המשך: יודעים כמה תלמידים בכתה השנייה ומוסיפים בכל פעם עוד 1 בכל רגע שתלמיד נוסף מצטרף

שתי המשמעויות מתלכדות ומביאות לאותן תוצאות חישוביות ועקרוניות. אם כך, מדוע לנו להבחין ביניהן? 

אפשר למנות את חברי הקבוצה בסוף המקרה מההתחלה או שאפשר למנות באמצעות מניית המשך (ממשיכים למנות את החברים שנוספו לקבוצה).

השיטה השנייה יעילה יותר.

דוגמה נוספת להמחשת החיבור הדינמי, שבה מרגישים שיש משמעות לסדר החיבור:

הורה: אספר על שני אנשים סיפור דומה בשני מקרים שונים: לדוד היו 100 גלויות באוסף הבובות שלו והוא זכה בבובה נוספת. ליעל היתה בובה אחת ויחידה ובתחרות היא זכתה ב-100 נוספות. מה הדומה ומה השונה במצבם של הילדים?

ילד: דומה? לשניהם בסוף הסיפור יש 101 בובות. שונה? מצבו של דוד אחרי הזכייה לא שונה מאוד ממצבו קודם לכן, יש לו עוד בובה אחת בסך הכול, אבל מצבה של יעל השתפר מאוד כי עכשיו יש לה הרבה הרבה יותר בובות משהיו לה לפני הזכייה.

הורה: מה התרגיל שמתאים לתאר את המקרה של דוד?

ילד: 101=1+100

הורה: ומה התרגיל שמתאים לתאר את המקרה של יעל?

ילד: 101=100+1

הורה: אז 100+1 ו- 1+100 זה אותו הדבר?

ילד: כנראה שלא תמיד, בדוגמה הזאת זה אותו הדבר רק בתוצאה המספרית, אבל ממש לא אותו הדבר במשמעות. חוק החילוף מתאר רק את התוצאה המספרית ולא מתייחס למשמעות.

אנחנו משתמשים בתרגילים שלנו בחוק החילוף לצורך הנוחות כי ישנם ממקרים שבהם זה מקל על החישובים. למשל, קל יותר לחשב 9+2 מאשר 2+9. במקרה הראשון אני צריך להמשיך ולספור "עשר, אחת עשרה" וסיימתי, ואילו במקרה השני "שלוש, ארבע, חמש, ..., עשר, אחת עשרה". ההבדל הוא בכמה צעדים עליי להתקדם כדי להגיע לתוצאה.

נשים לב שבשפה אין אנו מקפידים להבחין בין המחבר לבין המחובר, לשניהם אנו קוראים מחוברים.

ראינו שלפעולת החיבור בחשבון יש שתי משמעויות שונות. המצב שונה ומורכב יותר בחיסור. בחיסור יש 6 משמעויות שונות.

חיסור

מומלץ מאוד להורים לקרוא בעיון את המאמר המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה מאת תלמה גביש    -- ההסברים במאמר מפורטים וברורים והוא מלא דוגמאות רבות.

הנה סרטונים שבהם מודגמת הקנייה של ארבע מתוך שש המשמעויות השונות של החיסור.

חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה

חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם:

אני מקשר כאן לשיעור בסדנת מתמטיקה לתלמידים ביסודי שבה לימדתי את שתי המשמעויות הנוספות: חיסור של ספירה לאחור וחיסור של ירידה וכן הצגנו סיכום של הנושא:
שיעור מספר 9: חיסור של ספירה לאחור וחיסור של ירידה וסיכום 6 משמעויות החיסור
(מתוך סדנת המתמטיקה בבית הספר היסודי עמל בכפר יונה, תשע"א)

כפל


אני מקשר כאן לשיעור בסדנת מתמטיקה לתלמידים ביסודי שבה לימדתי את משמעות הכפל במספרים טבעיים כדי לקבל דוגמאות להקנייה: שיעור מספר 10: משמעות הכפל

נבחין שחוק החילוף פועל גם בכפל, ובדומה לחיבור, זה "אותו הדבר" בתוצאה המספרית אבל לא במשמעות.
2x3 קוראים שתי פעמים שלוש ומציירים III III
לעומת זאת,
3x2 קוראים שלוש פעמים שתיים ומציירים II II II
חשבו שזה משנה מאוד האם לוקחים את התרופה פעמיים ביום במשך שלושה ימים או שלוקחים אותה שלוש פעמים ביום במשך יומיים -- האם מצבינו יהיה אותו הדבר בשני המקרים?

שימו לב להמחשה לחוק החילוף בכפל (כדי להשתכנע שזה עובד)

הנה שלוש פעמים חמש


XXXXX
XXXXX
XXXXX

נסובב ונקבל

XXX
XXX
XXX
XXX
XXX

ניכר שהכמות נשמרת אף על פי שהארגון שונה.

אני ממליץ מאוד להורים לקרוא בעיון את המאמר הא-סימטריה של הכפל האריתמטי מאת תלמה גביש. יש הסברים מדוע זה חשוב, איך להקנות ודוגמאות רבות.

* שימו לב שכאשר הכופל אינו מספר טבעי, אלא שבר פשוט או מספר מעורב, איננו אומרים "פעמים" כשכתוב X אלא אומרים "של". נרחיב ונעמיק בשיעור נפרד בנושא בהמשך הסדנה, כשנטפל בשברים. בחשבון, כמו בשפה (והרי אמרנו כבר שהמתמטיקה היא שפה) יש לנו ריבוי משמעויות ואת העמימות אנחנו מפיגים לפי ההקשר. ההכרות של המשמעויות השונות וההתנסות בהמצאת בעיות חשבוניות ובמיון של בעיות לפי המשמעויות מסייעות להבנה ומגבירות את השליטה ואת היכולת ומצמצמות את החרדה.

חילוק

לחילוק יש מספר משמעויות, נדון בשתיים מהן: חילוק לחלקים ו-חילוק להכלה (במשמעויות נוספות נדון, אם נספיק, בהמשך הסדנה)

הנה סרטון שמדגים הקניית הנושא:

אני מקשר כאן לשיעור בסדנת מתמטיקה לתלמידים ביסודי שבה לימדתי את משמעות הכפל במספרים טבעיים כדי לקבל דוגמאות להקנייה: שיעור מספר 11: שתי משמעויות של חילוק

למה אי אפשר לחלק ב-0?

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר, יחסית, בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נסמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

מה המשמעות של חלוקה במספר שאינו שלם?

* שימו לב שכאשר המחלק אינו מספר טבעי, אלא שבר פשוט או מספר מעורב, אנחנו מאבדים את האינטואיציה. מה זה, למשל, חמישית לחלק לשמינית? נרחיב ונעמיק בשיעור נפרד בנושא בהמשך הסדנה, כשנטפל בשברים. רמז: חשבו על החילוק להכלה...

להרחבה בנושא החילוק

• לחשוב להבין להצליח, פיתוח חשיבה מתמטיקה, תלמה גביש, הוצאת אח, 1998, עמודים 88-91
• חשבון להורים, ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים, רון אהרוני, הוצאת שוקן, 2004, עמודים 81-87
• שליש לחלק לרבע, המחשבה שמאחורי החישוב, מירה עופרן, הוצאת רכס, 2005, עמודים 68-80
• על החילוק של המספרים הטבעיים, תלמה גביש
• האסימטריה של הכפל האריתמטי, תלמה גביש
• כינוי=נכפל=מחולק=שלם, פרופ' רון אהרוני

למי שמתעניין בחילוק ארוך, חשיבותו והוראתו

• חילוק ארוך ותרומתו, תלמה גביש, יוני 2000
• איך ללמד חילוק ארוך, חנה הלר
• איך ללמד חילוק ארוך: אבן בוחן לכמה עקרונות הוראה, פרופ' רון אהרוני, יוני 2006

הורים ומורים מוזמנים לפנות כדי לקבל חומר נוסף על הוראת המשמעויות של פעולות החשבון במספרים טבעיים לרבות מערכי שיעור וכן לשאול שאלות ולהתייעץ. אעזור כמיטב יכולתי. 

המורה,

שלמה יונה