משמעות הכפל כאשר הכופל הוא שבר
כשדיברנו על משמעויות של פעולות החשבון במספרים טבעיים הזכרנו גם את הכפל. נראה עכשיו מה האפשרויות לסוגי המספרים בתרגיל הכפל עבור תלמידי בית ספר יסודי.
בתרגיל כפל יש לנו כופל, נכפל ואת התוצאה: מכפלה. בבית ספר יסודי התלמידים מכירים מספרים טבעיים (ואת אפס), גם שברים פשוטים ומספרים מעורבים. יש גם ייצוגים שונים כמו שבר מדומה או שבר עשרוני.
אמרנו שתפקידו של הכופל הוא לייצג את מספר הפעמים שחוזרת על עצמה קבוצה שוות גודל. מכאן משמעותו של סימן הכפל (×) הוא פעמים. למעשה, חשוב לעודד את הילדים לקרוא את סימן הכפל ולומר פעמים ולא כפול כדי להזכיר להם את המשמעות.
כאשר הכופל שלנו כבר אינו מספר טבעי, אין משמעות ל-פעמים ואנחנו מקבלים משמעות אחרת לסימן הכפל. למשל, כאשר הכופל הוא שבר יש לו משמעות של יחס ופעולת הכפל הופכת להיות הפעלת היחס על הנכפל. הנכפל מקבל את תפקיד השלם, והכופל מייצג את החלק של השלם שאנחנו מעוניינים בו.
 |
| שודדי ים: הם מבינים בחלוקה של אוצר!! |
שודדי ים!!
כל שודד ים יודע: כשמחלקים אוצר, ככל שהאוצר גדול יותר, כן גדולה יותר מנתו של כל שותף. הצד השני של המטבע הוא, שככל שמספר השותפים גדול יותר, המנה קטנה יותר. כדאי לשודד למצוא אוצר גדול ולהתחלק עם מספר קטן של שותפים!
הגדלת המונה
שברים מבטאים חילוק ולכן חלים עליהם חוקי השינוי של החילוק. הדבר מפשט מאוד את פעולות הכפל והחילוק בשברים.
אם מגדילים את המחולק פי 4, מגדילים את המנה פי 4.
למשל, בביטוי ⅔ (שהוא חשבונית בדיוק כמו 2:3) אם נגדיל את המחולק, 2, פי 4 אז נגדיל את המנה פי 4. ואכן, 8/3 (שזה חשבונית בדיוק כמו 8:3, כי קו השבר הוא גם פעולת חילוק) גדול בדיוק פי 4 מ-⅔.
אז אפשר לנסח את הכלל שלנו במילים של שברים:
אם מגדילים את המונה פי 4, מגדילים את השבר פי 4.
כמובן, השימוש ב-4 הוא רק לשם הדוגמה.
הגדלת המכנה
זוכרים את שודדי הים? שודדי ים יודעים שהגדלת מספר השותפים לאוצר פי 4 מקטינה את מנתו פי 4. כלומר, הגדלת המחלק פי 4 מקטינה את המנה פי 4. או בלשון השברים: הגדלת המכנה פי 4 מקטינה את השבר פי 4.
דוגמה לתרגיל כפל עם כופל שאינו מספר טבעי
הנה בעיה חשבונית:
באולם יש 66 אנשים. שני שלישים מהם יושבים והשאר עומדים. כמה אנשים יושבים באולם?
אנחנו מחפשים פתרון לבעיה כמה הם שני שלישים של 66. בחשבון כותבים את זה כך
? = 66 × ⅔תובנות
- כאשר הכופל הוא שלם אנחנו אומרים פעמים כשאנו קוראים את הסימן ×
- כאשר הכופל הוא שבר אנחנו אומרים של כשאנו קוראים את הסימן ×
אז מהו התהליך שצריך לעשות כדי לפתור תרגיל כמו 66 × ⅔ ?
- נחלק את 66 ב-3 כדי למצוא כמה זה ⅓ של 66 [המכנה של השבר אומר לנו לכמה חלקים שווים אנחנו מחלקים את השלם]
- נכפול את התוצאה של השלב הקודם ב-2 כדי למצוא כמה הם שני שלישים של 66, זאת אומרת, כמה הם פעמיים שליש של 66.
אנחנו רואים שבפעולת הכפל כשהכופל הוא שבר מסתתרות שתי פעולות: פעולת חילוק ואחרי פעולת כפל.
נתבונן בתרגיל: ⅔ × 5. הכופל שלנו, טבעי, ולכן המשמעות היא 5 פעמים ⅔. הנה, למשל, סיפור חשבוני שמתאים לתרגיל:
בצנצנת יש ⅔ ק"ג של ממרח. כמה ק"ג ממרח יש ב-5 צנצנות?
כדי לפתור את הבעיה נפתור, כאמור את התרגיל ⅔ × 5. כדי לעשות זאת נבחין כי ⅔ כאן משמעותם פעמיים שליש. 5 פעמים שני שליש הם כמו 5 פעמים שתי מכוניות, ולכן יש לכפול 5 ב-2. 5 פעמים 2 הם 10. ולכן יש בידינו 10 שלישים שאותם נכתוב 10/3. משום שבשלם יש 3/3, ב-10 שלישים יש לנו 3 שלמים ועוד שליש. אז התוצאה היא ⅓3.
אנחנו יודעים שלפי חוק החילוף ⅔×5 ו- 5×⅔ זה אותו הדבר בתוצאה (אבל לא במשמעות) ולכן מתקיים ⅔×5=5×⅔, ולכן התוצאה של 5×⅔ גם היא ⅓3. אבל מה המשמעות? איזה סיפור חשבוני נוכל לספר על התרגיל הזה?
לפי הטיפול שלנו בכפל כאשר הכופל הוא שבר אנחנו אומרים של כשאנו קוראים את הסימן ×. אם כך את התרגיל 5×⅔ נקרא בקול כך: שני שליש של חמש. סיפור חשבוני מתאים יהיה למשל
דוד אכל שני שלישים מ-5 עוגות. כמה עוגות אכל דוד בסך הכול?
כדי לפתור את התרגיל אנו צריכים:
- לחשב כמה זה שליש מחמש
- לכפול את התוצאה של השלב הקודם ב-2 כי דוד אכל שני שליש מהכמות.
אפשרות נוספת, שקולה, תהיה:
- להיזכר ש- ⅔ הם פעמיים שליש ואז: אפשר לכתוב את התרגיל גם כך: 5×⅓×2 ולפי חוק החילוף אפשר גם לכתוב את התרגיל כך: 5×2×⅓ שזה 10×⅓ ואז נותר רק
- לחלק את 10 ב-3 כדי למצוא כמה זה שליש של 10.
ונקבל ⅓3.
המחשה באמצעות שטחים
הנה 5 פעמים שני-שליש (חשבו על 5 צנצנות שבכל אחת יש ⅔ ק"ג דבש)
והנה - 5 יחידות
עכשיו נחלק כל אחת מהיחידות לשלושה חלקים שווים ונצבע בכל יחידה כדי לציין שיש לנו שליש מכל יחידה וכך בעצם שליש מהכמות כולה:
אחרי שאנחנו יודעים כמה זה שליש של הכמות כולה אז פעמיים של שליש יתנו לנו ⅔
והנה קיבלנו באופן ויזואלי את כלל החילוף: ⅔×5=5×⅔
יש לנו כאן דרך חשיבה שכבר רכשנו בעבר, כשדיברנו על משמעות השבר כמונה ומכנה. נדגים זאת באמצעות הבעיה הבאה:
בכל ערוגה יש 100 פרחים. כמה פרחים יש ב-7 ערוגות?
הפתרון:
700 פרחים = 7 × 100 פרחים
אנו כופלים 100 פרחים ב-7. הפרחים הם המכנה (הכינוי) של המונה 100. ותשובתנו תהיה 700 פרחים. איננו כופלים את הכינוי (פרחים) אלא את המונה (100). כמובן שאת התוצאה אנחנו מכירים מתוך השימוש בכפל כאשר 100 פרחים הם קבוצה שוות גודל (כמות הפרחים בערוגה) שאנחנו מקבצים יחדיו 7 כאלה: 7 פעמים 100 פרחים:
700 פרחים = 100 פרחים × 7
אותו הדין לגבי 2 שלישים שמוכפלים ב-5. אנו כופלים את מספר השלישים ויש לנו בסה"כ 10 שלישים. גם כאן איננו כופלים את הכינוי (המכנה) אלא מוצאים כמה פעמים יש שלישים, ממש כמו שראינו כמה פעמים יש פרחים.
בשברים הפשוטים נפגש התלמיד בכלל: כפל המונה מכפיל את השבר בעת שלמד את ההרחבה, והרי זה הכלל שאנו מפעילים בסוג כזה של תרגילים.
הקישור הזה מבסס חדש על ישן ונוטל מהלומד את החשש מהשברים. לצד חיזוק המשמעות של המכנה ושל המונה, ההוראה בדרך זו יוצרת תחושת מסוגלות ועונה על שלושת התנאים ההכרחיים לתיווך: כוונה והדדיות, העברה ומשמעות.
כפל שבר בשבר
ביצוע הפעולה קל. ההסבר, לעומת זאת, אינו כה קל. להדגמה נתבונן בתרגיל:
⅘×⅔=(4×2)/(5×3)=8/15
תרגיל זה מורכב משתי פעולות נפרדות. בראשונה ⅘ מוכפל ב-2
⅘×2=(4×2)/5
בשנייה התוצאה מחולקת ל-3 חלקים שווים.
(4×2)/(5×3)=8/15
כאן נכנס כלל נוסף: ככל שכופלים במספר קטן יותר -- המכפלה קטנה יותר. ניסוח הכלל אולי חדש אבל כל מי שמכיר את לוח הכפל יודע שאם כופלים במספר קטן יותר אז התוצאה קטנה יותר. נבטא את הידע הזה בשבר באופן הבא:
- אם 30= 6×5 והכלל שניסחנו נכון אז -
- 15 = 30/2 = 6/2 × 5 = 3 × 5
מאחר ש-3 קטן פי 2 מ-6, גם המכפלה של 5 ב-3 תהיה קטנה פי 2 מהמכפלה של 5 ב-6.
בתרגיל כפל שבר בשבר כפלנו תחילה ב-2, אבל נדרש מאיתנו לכפול במספר שקטן פי 3 מ-2, כי
⅔ קטן פי 3 מ-2. נעשה זאת על ידי כפל המכנה, כי כפל המכנה הוא חילוק של השבר.
דווקא היותו של התרגיל הזה קל לביצוע מדגיש את ההבדל בין תהליך לתוצר. מבחינת התוצר, נקבל, בדרך כלל, תוצאות משביעות רצון, כי מרבית התלמידים מצליחים בביצוע הפעולה מבלי לדעת את ההסבר לה. לעומת זאת, תהליך החשיבה שמוביל לפירוק הפעולה לשלבים -- לצורך הבנתה, קשה להסברה, אבל הוא מכין את הלומד לתהליכים מתמטיים ולשימוש באנאליזה (בניתוח) לפתרון בעיות.
הנה רצועות, שלצורך ההמחשה שלי ישמשו בתור ה-שלם. וצבעתי ⅔ מהשלם בצבע תכלת.
לפי התרגיל, ⅔×⅘, אני מחפש כמה הן ארבע חמישיות של ⅔. אז, נמצא כדי לדעת כמה זה חמישית מהחלק הצבוע בתכלת (שזאת מערכת ההתייחסות שלי כרגע -- זה השלם החדש שלי, כי אני צריך לחשב כמה הן ⅘ של ⅔ מהשלם המקורי ולא לחשב כמה הן ⅘ מהשלם המקורי) באמצעות חלוקה שלו ל-5 חלקים שווים. ואז כל שנותר לעשות זה לצבוע מחדש, נאמר, בצבע ורוד, ארבע חלקים כאלה, שהם ⅘:
אפשר, כמובן, להשתמש באותו השלם, כדי להראות שנקבל אותו שטח צבוע אם נחשב את ⅘×⅔.
סיכום
למדנו משמעויות של כפל כאשר הכופל אינו מספר טבעי. למדנו מדוע כפל שברים נותן מונה-כפול-מונה ו- מכנה-כפול-מכנה. למדנו להשתמש בתרשים כדי לקבל תובנות על התרגיל שמנסים לפתור. נוכחנו שדברים שקל לפתור או שקל לבצע לא תמיד קל באותה המידה גם להסביר.
המורה,
* ראו הרחבה רבה בנושא בספר של תלמה גביש לחשוב להבין להצליח, פיתוח חשיבה מתמטיקה, תלמה גביש, הוצאת אח, 1998
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה