הנה בעיה מילולית מספר רוסי ישן*:
בשדה הגדול עבדה הקבוצה כולה במשך חצי יום ואת שארית השדה השלימה מחצית מהצוות בחצי יום. השטח שעבדו בו חצי מאנשי הצוות בחצי השני של היום קטן פי 2 מהשטח שעבדו בו כלל אנשי הצוות בחצי הראשון של היום (אותו הזמן, חצי מיכולת העבודה ולכן גם חצי משטח השדה שקצרו כשהיו פי 2 יותר אנשים). מכאן ש-⅔ משטח השדה נקצר בחצי הראשון של היום ו-⅓ משטח השדה בחצי השני של היום.
בזמן שחצי הצוות קצר ⅓ משטח השדה הגדול בחצי השני של היום הראשון נקצר במשך אותו הזמן על ידי אותו מספר קוצרים שטח זהה בשדה הקטן. משום ששטח השדה הקטן הוא מחצית משטח השדה הגדול ומשום שנקצר כבר ⅓ משטח השדה הגדול אז השארית בשדה הקטן היא ⅙ =⅓-½.
אם כך השטח שעובד יחיד קוצר במשך יום שלם הוא ⅙ משטח השדה הגדול. אנחנו כבר יודעים ש-⅔ משטח השדה הגדול נקצר על ידי כל הקבוצה במשך חצי יום. ⅔ גדול פי 4 מ-⅙ אז אם קוצר יחיד משלים ⅙ משטח השדה הגדול ביום אחד אז 4 קוצרים ישלימו ⅔ משטח השדה הגדול ביום אחד. אבל אנחנו יודעים שהצוות כולו קצר ⅔ משטח השדה הגדול בחצי יום ולכן היו 8 קוצרים בקבוצה.
למי מכם שפתרו באופן אלגברי כנראה שהיתה עבודה קשה יותר, במיוחד אם לא בחרו בתור הנעלם (או הנעלמים) את מה שיביא לכמה שפחות שלבים בפתרון.
יש עניין לראות גם פתרונות אלגבריים? רוצים לשלוח אליי ואצרף אותם (עם קרדיט)?
פתרונות הקוראים
הפתרון של אריאל שמואלי:
הפתרון של שוקי אברהם:
הפתרון של עזי גבאי:
המורה,
שלמה יונה
* מתוך: A. Toom. Word Problems: Applications vs. Mental Manipulatives. For the Learning of Mathematics, v. 19(1), March 1999, pp. 36-38.
על צוות קוצרים לקצור שני שדות, ששטחו של אחד מהם כפול משטחו של האחר. כלל העובדים בצוות עבדו במשך חצי יום בשדה הגדול, ואז התפצלו, כשחצי הצוות עובד בשדה הגדול, והחצי השני בשדה הקטן. בסוף היום הסתיימה העבודה בשדה הגדול, ואילו בשדה הקטן נשאר חלק שאותו קצר עובד אחד במשך יום עבודה מלא נוסף. כמה עובדים היו בצוות? [אני מוסיף שתנאי העבודה בכל שטחי שני השדות זהים בכך משך הזמן שעבדו הקוצרים וכן תפוקת העבודה של כל הקוצרים זהה]
חגיגות העומר ברמת יוחנן מתוך הארץ
כיצד תפתרו?
אני משער שהאמיצים שינסו לפתור יעשו זאת בשיטות אלגבריות. זה בסדר גמור. בתלות בסימון הנעלמים והתייחסות לנתונים ישנן מספר דרכים לפתרון.
אני מציע לכם לזנוח את האלגברה ולחשוב בשכל ישר בשיטה של "חשבון של בית ספר יסודי" -- לא המתכונים שהתרגלתם לפתור לפיהם, אלא פשוט לחשוב.
מי מכם שמוכן להתאמץ ולחשוב, אנא, עשו לעצמכם טובה, עזבו את המחשב, קחו נייר ועפרון וחשבו, אחרי שתפתרו, חזרו להביט בתשובה.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
בשדה הגדול עבדה הקבוצה כולה במשך חצי יום ואת שארית השדה השלימה מחצית מהצוות בחצי יום. השטח שעבדו בו חצי מאנשי הצוות בחצי השני של היום קטן פי 2 מהשטח שעבדו בו כלל אנשי הצוות בחצי הראשון של היום (אותו הזמן, חצי מיכולת העבודה ולכן גם חצי משטח השדה שקצרו כשהיו פי 2 יותר אנשים). מכאן ש-⅔ משטח השדה נקצר בחצי הראשון של היום ו-⅓ משטח השדה בחצי השני של היום.בזמן שחצי הצוות קצר ⅓ משטח השדה הגדול בחצי השני של היום הראשון נקצר במשך אותו הזמן על ידי אותו מספר קוצרים שטח זהה בשדה הקטן. משום ששטח השדה הקטן הוא מחצית משטח השדה הגדול ומשום שנקצר כבר ⅓ משטח השדה הגדול אז השארית בשדה הקטן היא ⅙ =⅓-½.
אם כך השטח שעובד יחיד קוצר במשך יום שלם הוא ⅙ משטח השדה הגדול. אנחנו כבר יודעים ש-⅔ משטח השדה הגדול נקצר על ידי כל הקבוצה במשך חצי יום. ⅔ גדול פי 4 מ-⅙ אז אם קוצר יחיד משלים ⅙ משטח השדה הגדול ביום אחד אז 4 קוצרים ישלימו ⅔ משטח השדה הגדול ביום אחד. אבל אנחנו יודעים שהצוות כולו קצר ⅔ משטח השדה הגדול בחצי יום ולכן היו 8 קוצרים בקבוצה.
למי מכם שפתרו באופן אלגברי כנראה שהיתה עבודה קשה יותר, במיוחד אם לא בחרו בתור הנעלם (או הנעלמים) את מה שיביא לכמה שפחות שלבים בפתרון.
יש עניין לראות גם פתרונות אלגבריים? רוצים לשלוח אליי ואצרף אותם (עם קרדיט)?
פתרונות הקוראים
הפתרון של אריאל שמואלי:
הפתרון של שוקי אברהם:
הפתרון של עזי גבאי:
המורה,
שלמה יונה
* מתוך: A. Toom. Word Problems: Applications vs. Mental Manipulatives. For the Learning of Mathematics, v. 19(1), March 1999, pp. 36-38.
פתרתי כך: לשטח הגדול לוקח צוות שלם למשך חצי יום ועוד חצי צוות למשך חצי יום. לכן מתבקש שלחצי שטח יקח חצי צוות למשך חצי יום ורבע צוות למשך חצי יום (בדיוק חצי כמות האנשים לאותם הזמנים).
השבמחקכעת בהינתן שלקח לשטח הקטן חצי צוות למשך חצי יום ולאדם יום שלם אזי שלשני אנשים יקח חצי יום ולכן רבע צוות הוא שני אנשים ולכן צוות שלם הוא 8 איש.
העבודה על השדה הגדול היא x/4+x/2
השבמחקהעבודה על השדה הקטן היא x/4+1
לכן: 0.75x=0.5x+2 --> x=8
כל העבודה לקחה יום עבודה אחד של הצוות כולו (ולא חשוב מתי כל אחד מהאנשים עבד באיזה שדה) ועוד יום עבודה אחד של איש אחד.
השבמחקמתוך זה, השדה הגדול לקח חצי יום של כל הצוות, ועוד חצי יום של חצי צוות, כלומר ביחד 3/4 יום עבודה של צוות שלם.
ההפרש בין שתי התובנות הללו:
נסמן לצורך הנוחות את מספר האנשים בצוות כ- X
סך כל העבודה בוצע ע"י X+1.
סך כל העבודה זה שדה גדול ועוד שדה קטן, שזה בעצם 1.5 שדה גדול. השדה הגדול בוצע ע"י 3/4X, ולכן:
X+1=1.5*.75X
X+1=1.25X
X=8