סיכום שני המפגשים הראשונים בסדנה להורים: איך ללמד ילדים מתמטיקה של בי"ס יסודי

סיכום שני המפגשים הראשונים בסדנה


פתחנו את המפגש בכמה מילים של נציג ההורים היוזמים, ציון לוי, ואז דברים של דפנה ליכוב, מנהלת בתי"ס היסודים באגף החינוך, סמדר ניסימוב מהמתנ"ס ורינה שבתאי, מנהלת אגף החינוך. גם ראש המועצה, אפי דרעי, נשא דברים. כל זה היה קצר וקולע ואז יכולנו להתחיל.

תודה לעשרות ההורים שהגיעו ושהסכימו להצטופף בכתה (כי האולם הרב תכליתי נתפס לישיבת חירום של המועצה). היינו יותר משלושים בחדר, גם אם אין מונים את ראש המועצה, שעזב אחרי שנשא את דבריו.

עקומת באטמן
גם זה מתמטיקה

פתיחה של המורה, שלמה:

[מקריא מתוך הספר איך בוטלה המתמטיקה מאת אביעד קליינברג] 

... [כל שיעור מתמטיקה] היה מתחיל תמיד באותו האופן. "נו, אנחנו מוכנים ללמוד מתמטיקה? לעבוד קשה? היה המורה מברר בספקנות". [...] "מוכן" היה משיב בעגמומיות. למשמע התשובה היה פון-שנאוצר משיב בסיפור עלילה מוזר, רצוף במספרים, שהסתיים תמיד בשאלה (שהייתה השאלה האחרונה שיוהנס היה מעלה בדעתו).

שני גננים, פריץ וקרל, שותלים עצמי תפוח בשתי שורות. לפריץ יש 45 שתילים ולקרל 35. פריץ נוטע ארבעה שתילים בכל רבע שעה וקרל – חמישה. אם אחרי חצי שעה יעבור גנב ויגנוב שמינית מן העצים בכל אחת מן השורות, כמה עצים יהיו בגן בסך הכל אחרי שעתיים ורבע וכמה עצים ישארו לכל אחד מן החברים?

עיניו של יוהנס היו מזדגגות כבר במשפט השלישי. למי אכפת כמה עצים ישארו לכל אחד משני החברים? הטרידו אותו שאלות אחרות: מי מדד את קצב העבודה של השניים ברבעי שעה? למה יש לפריץ יותר שתילים מאשר לקרל? למה הגנב המוזר הזה גונב שמיניות? איך אחרי שעתיים ורבע כבר נעשו השניים חברים? הוא לא העז לשאול אף אחת מן השאלות האלה, כמובן.

[נחזור לבעיה שהוצגה בהמשך באחד המפגשים הבאים... המתעניינים מוזמנים לנסות ולפתור בבית]

מה אנחנו ההורים עושים בהשתלמות?

אנחנו ההורים מגיעים כדי ללמוד מה הילדים שלנו לומדים בבית הספר בלימודי המתמטיקה וכיצד אנחנו יכולים להסביר להם באופן שיסייע להם להבין. חלקינו עושים זאת גם מתוך כוונה לקבל כלים שיסייעו לנו ללמד בהתנדבות אחרי שעות הלימודים בבית הספר תלמידים שירצו להעמיק ולהתחזק בנושאים שנלמדים במתמטיקה בבית הספר.

מה ננסה להשיג בהשתלמות?

אין ביכולתנו במהלך 12-14 המפגשים הצפויים של ההכשרה לכסות באופן יסודי ומלא את מלוא הנושאים שנלמדים במתמטיקה בבית הספר היסודי ולהעמיק בכולם כראוי. ננסה להדגים עקרונות בהוראה לילדים ביסודי וננסה, במידת האפשר, לכסות נושאים בתכנית הלימודים מ-א' ועד ו'. נתמקד במיוחד בנושאים שידועים כבעייתיים וככאובים: בעיות מילוליות, מבנה המספר ובשברים (ובאחוזים, כן, גם באחוזים) וכן בנושאים שיועלו מעת לעת על ידי ההורים. לקראת כל שיעור אכין הרבה יותר חומר משנוכל לעבור עליו -- אזכיר את כולו (או את רובו), אעמיק בחלקו ולכם ההורים נותר לקרוא בעיון קריאה פעילה של הרשימות שאעלה לאתר הסדנה ואם ישנן שאלות או תהיות אז פשוט לשאול אותי או את חבריכם. אני מקווה להצליח להציג לכם גישה ועקרונות ולהדגים בדרכים רבות ושונות. שלא תהיינה אשליות שנצא מפה מומחים להוראה בבית ספר יסודי. אבל אלה מכם שיקשיבו ושיעבדו ושיתאמצו יצאו מכאן, אני בטוח, נשכרים.

בשביל מה אנחנו בכלל מתעסקים במתמטיקה?

המתמטיקה אשמה ביותר סיוטים מכל המפלצות גם יחד, כך לפחות מרגיש הנסיך הצעיר יוהנס. האם הוא יוכל בבוא היום להיות מלך – בלי לדעת מתמטיקה? האם המתמטיקה תמשיך להתקיים גם אם המלך יכריז על ביטולה? ומה יכול יוהנס לעשות בקשר לזה? ובכן, מתברר שאפשר לעשות משהו – אם יצליח יוהנס לשכנע את אבא שלו לעזור.

הקטע הוא מתוך איך בוטלה המתמטיקה, מאת, אביעד קליינברג בהוצאת ידיעות ספרים וספרי חמד. הספר אינו ממש קשור למתמטיקה אלא יותר ליחסים שבין יוהנס הצעיר לבין אביו המלך, אבל ניכר וברור שהמחבר מקרין חרדת מתמטיקה רצינית. שווה לקרוא את הביקורת של גדי אלכסנדרוביץ, ד"ר למדעי המחשב מהטכניון, כאן ו-כאן: הוא מסביר מה ענייני ומה אינו ענייני ומנתח יפה, לטעמי את העלילה, את המחבר וגם את ההתקפה הישירה על המתמטיקה.

בכוונתי ללמד אתכם להכיר לילדים חשיבה מתמטית מסודרת באמצעות שפה מתמטיקה מדויקת, שימוש בהגדרות ובמושגים ובתהליכים לוגיים מסודרים. חשיבות רבה נודעת למתמטיקה מההיבט המעשי, היא עונה על צרכי הקיום הבסיסי של האדם כמו: קנייה, מכירה ומשא ומתן; והיא משמשת את המדעים והטכנולוגיה ותורמת לפיתוח החשיבה. דווקא בשל כך, אנשים שמתקשים בלימוד המתמטיקה סובלים מהרגשת תסכול ואין הילדים שונים מהם.  

בדומה ליוהנס מהסיפור, אנשים רבים נואשו מן המתמטיקה: רבים מהם כבר מגיל בית הספר. ואת תחושת החרדה והמיאוס שנצרבו בתודעתם הם נושאים עמם במשך שנים רבות מאז. כישלונות מביכים ותחושת אין-אונים מניבים משפטים כנועים כמו: אפשר להסתדר גם בלי מתמטיקה, מי צריך את זה בכלל, לא כולם נועדו להיות מתמטיקאים, מתמטיקה זה לא בשבילי. עבור רבים מידי, השער לעולם המדהים של המדעים נחסם בכיתה ב', ג' או ד'. מדענים, ובהם מקבלי פרס נובל מביעים שוב ושוב דאגה כבדה ואמיתית לעתיד ההתפתחות המדעית של ישראל. אפשר לסמוך על חוות דעתם. שער נעול למדעים אינו גזרת גורל, אפשר למנוע ואפשר לתקן כך שיפתחו השערים בפני כל תלמיד שיבחר.

אפשר ללמוד מתמטיקה מתוך חדווה וסקרנות, אפשר לחוות את עולם המספרים, השזור כל כך בחיינו, מתוך הבנה אמיתית ותחושת שליטה. כן, אפשר גם להצליח. הניסיון מראה שזה אפשרי ואני פוגש גם ילדים שאוהבים ללמוד מתמטיקה ומביעים תרעומת כאשר הם נאלצים לוותר על שיעורים בשל פעילות אחרת. אני רואה ילדים צעירים מבינים חוקים מתמטיים, עורכים דיונים בכיתה על דרכי פתרון שונות ומשתמשים בשפה מתמטית תקנית. ילדים מתקשים אינם נגררים מאחור וילדים מוכשרים מאותגרים בסוגיות נוספות.

כאשר מלמדים את הכללים והחוקים המתמטיים הנכונים, כאשר מכבדים את הידע האוניברסלי ומשתמשים בו, כאשר מתעמקים במשמעויות ובדקויות – מתרחש פלא משולש: הבנה מתמטית, שליטה, הצלחה.

מתמטיקה היא הרבה יותר מסימנים מוזרים וטריקים לפתרון תרגילים. מתמטיקה היא חלק מן האופן שבו אנחנו מתבוננים ומייצגים את המציאות והיקום בו אנו חיים. הוראת המתמטיקה, לשיטתי, (ולא אני המצאתי, בדברים שאביא בפניכם שזורות תורותיהם של פיאז'ה, ויגוצקי, פוירשטיין ואחרים) מביאה לידי ביטוי חינוך מתמטי על פי כמה עקרונות מובילים.

כמה עקרונות מובילים

בהוראה שלנו נשתמש בכמה עקרונות מובילים. ראשית נפרט אותם ומיד אחר כך נסביר ונדגים:

• שיטתיות: בניית הדברים על פי הסדר הנכון
• דגש על משמעות, כלומר, על הקשר למציאות, של המספר ושל פעולות החשבון
• להתחיל מהמוחשי, דרך הציורי ורק בסוף למופשט
• בנייה מדורגת של ההפשטות
• הימנעות מקיבוע -- לימוד מושגים מופשטים מתוך דוגמאות מגוונות
• שימוש בשפה מדויקת ובניסוחים מפורשים
• העקרונות באים מהילד, מתוך התנסות ומתוך דיון
• למידה מתווכת:
• העברה: היכן העיקרון או הרעיון או השיטה מופיעים במקומות אחרים במתמטיקה ובחיים.
• כוונה והדדיות. 
• משמעות

שיטתיות -- נדבך על נדבך

להסביר ולהדגים שלב אחרי שלב. נבנה את היסודות ובהמשך קומה על קומה, אם נדלג על קומה, המגדל שלנו יקרוס. אז, איך אנחנו עושים את זה?

• לקשר למה שהיה קודם: למשהו ידוע, למשהו שעסקנו בו קודם, למשהו שראינו קודם. לדוגמה, היו
• לקשר את הרעיון, את המושג, את העיקרון לנושאים אחרים: היכן מופיע במקומות אחרים?
• לא רק לתת טכניקה לפתרון של תרגיל או של משימה, אלא לתת גם להמציא תרגילים ולהמציא בעיות
• חשוב יותר לחזק את הבסיס (מושגים, יחסים, השוואה, מיון) לפני שמסבכים עניינים בנושאים מורכבים בחשבון
• לדרג -- אם קשה או מסובך או לא מובן: לשאול שאלה או להציג בעיה פשוטה יותר 
• להעלות את רמת המורכבות וההפשטה בהדרגתיות ובאטיות, לא לסבך בבת אחת יותר מדבר אחד
• כל הסבר צריך לעבור דרך כמה שלבים מהמוחשי דרך הציורי ורק אז למופשט, אחרי הרבה מאוד התנסות במוחשי ואחרי ביסוס של ייצוגים ציוריים. למשל: לא נתחיל מ-2 ועוד 3 שווה 5, זה מופשט מאוד. נתחיל בעצמים אמיתיים, למשל נחזיק ביד אחת 2 עפרונות וביד השנייה 3 עפרונות ונשאל כמה הם שני עפרונות ועוד 3 עפרונות, נחזור על זה עם עצמים נוספים שהילדים מחזיקים בידיהם, אצבעות, פירות, צעצועים, כריות, וכו'. השלב הבא הוא להמשיך ולתרגל חיבור עם כינויים של עצמים מוחשיים, אך לדבר עליהם כשרואים אותם אך אין אוחזים בהם. שלב הבא הוא כשמדברים על עצמים מוחשיים אך אין אוחזים בהם ואין רואים אותם. אפשר גם לחוש בהם אך לא לראות אותם, למשל למשש אותם בתוך שקית. השלב הציורי הוא שרואים ציור של העצמים שמחברים: ציור של 2 עפרונות ולידם 3 עפרונות, ציור של 2 כריות ולידן 3 כריות וכך הלאה, אחרי שמתרגלים עם ציורים של עצמים שונים, אפשר לעבור לדגם מצויר כללי יותר, עדיין לדון בחיבור של עצמים מוחשיים אך לצייר עיגולים או מלבנים או קווים, כסמל. רק בסוף להגיע לתובנה של 2 משהו ועוד 3 משהו הם 5 משהו ומכאן כבר מגיעים ל-2 ועוד 3 הם 5 ללא תלות בעצמים שמונים.

חשיבות מילים וניסוחים

• נשתמש בשפה מדויקת ונבקש להשתמש בשפה מדויקת. נערה אומרת לאביה: "אני יוצאת הערב ואחזור אחר כך" -- היא חזרה למחרת ולא הבינה מה הבעיה... ההקפדה על השפה המדויקת מאפשרת תקשורת עם בסיס משותף שמובן לכול.
• חשיבות לשימוש בכינויים: 2 ילדים ועוד 3 ילדים הם 5 ילדים
• נרגיל את הילדים לחזור בקול על הוראה שקיבלו או על בעיה שקיבלו -- חזרה על השאלה מעלה את הריכוז. 
• דוגמה: עקרון המכנה המשותף: 2 כיסאות ועוד 3 שולחנות הם 5 רהיטים. כשאומרים לילדים שאי אפשר לחבר תפוחים ותפוזים או כיסאות עם שולחנות אז מעבירים להם מסר מתמטי שגוי. אפשר לחבר, אלא שיש למצוא קבוצה שמכילה כל אחת מהקבוצות החלקיות שהיא הדוקה מספיק כדי לתאר נאמנה ולא באופן כללי שמאבד מידע. [ארחיב אדגים ואסביר על המכנה המשותף וכיצד הרעיון חוזר ומופיע במתמטיקה מהגן דרך היסודי והלאה באחד המפגשים הבאים]
• דוגמה: עקרון ההרחבה והצמצום: 2 ילדים ועוד 3 ילדים הם 5 ילדים; 2 עשרות ועוד 3 עשרות הם 5 עשרות; 2 מיליון ועוד 3 מיליון הם 5 מיליון
• להקפיד על השימוש בזכר ובנקבה

הגענו עד לכאן למעשה בשיעור ואת השאר נמשיך בשיעור הבא. אתם מוזמנים לקרוא ולהכיר. במפגש אני ממילא אינני מקריא מהדפים ונותן דוגמאות רבות נוספות ואחרות ומשתף את הקהל -- אז מי שיקרא ירוויח ולא יקלקל לעצמו -- להפך, הוא יגיע מוכן יותר ויצליח להפיק יותר מהמפגש השני.

הבנת המושגים

• דוגמה: חיבור. מה זה לחבר? כמה מילים שמתארות חיבור אנחנו ההורים מכירים? ואילו מילים כאלה אנחנו יכולים להציע? והילדים? איך אנחנו משתמשים במילים האלה במשפט? באילו הקשרים מתאים שימוש במילה אחת ומתי באחרת?
• שאלה לילדי הגן, או אפילו לכתה א': יש לנו קבוצה שבה 3 פילים וקבוצה שבה 3 נמרים. באיזו קבוצה יש יותר? הניסוח אינו מדויק. לא פירטנו מה יותר! הילדים עשויים להבין שיש אותו מספר של פריטים בשתי הקבוצות, אבל גם לבלבל גודל עם כמות ועם משקל: הפיל "כבד" יותר או "גבוה" יותר מהנמר ולכן ייתכן שיטענו שיש יותר מהפילים. אנחנו רוצים שהילדים יבחינו בדקויות ובהקשר המתאים לשימוש במילות תואר: גדול ו-קטן הם כלליים מאוד ומחביאים בתוכם יחסים רבים נוספים שאינם בהכרח חייבים לבוא בהתאמה (למשל, אבי בוגר בגילו ממני אך אני גבוה ממנו):
• גבוה--נמוך
• רחב--צר
• כבד--קל
• הרבה--מעט
• חזק--חלש
• בוגר--צעיר
• לדבר על מילים נרדפות ולהשתמש בהן. גם במתמטיקה יש ריבוי משמעות לסמלים ולפעולות מתמטיות. למשל (ופה ההסבר הוא להורים): הסימן '-' (מינוס) יכול לשמש גם כסימן של פעולת החיסור, 2=5-3, וגם לציון מספרים שליליים, וגם לציון הנגדי למספר, הנגדי של 3- הוא (3-)- שהוא 3. גם פעולת החיסור עצמה יש לה 6 משמעויות שונות (ראו את מאמרה של תלמה גביש, "המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה", וגם את הסרטונים שבהם אני מדגים כמה משמעויות של חיסור פה ו-פה)
• איך נוכיח ממה יש יותר (או פחות)? באמצעות התאמה חד-חד ערכית [לקשר לרשימה מיוחדת שאכתוב בנושא]: מצמידים לכל איבר מקבוצה אחת איבר מהקבוצה השנייה עד שבאחת הקבוצות אוזלים האיברים ואז הנותרים שייכים לקבוצה שבה יש יותר ומספרם מונה בכמה יותר עצמים בקבוצה הזאת מאשר בקבוצה האחרת. 
• מטבע של 1 ש"ח מול מטבע של 10 אגורות: מה שווה יותר? ילדים אומרים שדווקא 10 אגורות שווה יותר מהנימוקים הבאים וחשוב שנדון בהם ושנסביר את התכונות השונות ושאפשר להשוות בין עצמים לפי תכונות שנבחר ושערך (כמה שווה) הוא עוד תכונה. 
• 10 זה יותר מ-1
• מטבע 10 אגורות גדול יותר ממטבע של 1 ש"ח
• מטבע 10 אגורות מ"זהב" ואילו של 1 ש"ח מ"כסף"
• אין לסמוך על דברים שהם ברורים מאליהם לילדים או שבטוח שהילדים מבינים -- לבקש מהם להסביר ואם מתקשים או מסתבכים, שאנחנו נסביר. הסברים רצוי שיהיו פשוטים וקצרים, ושתהיינה דוגמאות מוחשיות רבות.
• לוודא שהילדים מבינים ושהם יודעים נכון ולא להניח את זה. איך יודעים? שואלים? שואלים שאלות ומעמידים מצבים שבהם הילדים צריכים להפעיל את ההבנה או להסביר. אם מקפידים לגוון ולא לקבע אפשר לגלות מה אכן הובן וכיצד ואז לחשוב איך בהזדמנויות אחרות להסביר להם ולהדגים להם טוב יותר.
• כשקוראים לילדים סיפור או כשנמצאים בנוכחותם וקורה דבר מה או שנאמר ביטוי מסוים או מילה מסוימת, לשאול להתעניין וכשניכר שאין הבנה אז להסביר, לפרש, לבאר, להדגים ולספר סיפור שממחיש.
• איך נדגים שימור של כמות? למשל נעביר נוזלים בין כלים בצורות ובגדלים שונים ובעלי קיבולת שונה: מה יקרה כשנעביר מכלי קטן לכלי גדול? מה יקרה כשנעביר נוזלים מכלי גדול לכלי קטן? להראות, להמחיש ולתת להתנסות. נדבר בשפה מדויקת: הכלי צר יותר, או גבוה יותר או מכיל יותר ולא סתם בכלליות לומר גדול או קטן.
• מה זאת השוואה? כיצד משווים? לפי איזו תכונה או תכונות משווים?
• למיין. בכמה אופנים ניתן למיין? לפי איזו תכונה ממיינים? (השוואה היא תנאי הכרחי למיון -- ללא השוואה איך נמיין?)
• לדבר על יחסים (גדול מ-, רחוק מ-, מתחת ל-, נובע מ-, חוזר אל... וכך הלאה -- להסביר, להדגים בהקשר, להשתמש בעצמינו -- לתת דוגמה אישית)
• שימור של צורה: למשל זווית ישרה, פינה של דף, או משולש ישר זווית: האם הזווית נשארת ישרה גם כאשר נסובב אותה?
• לדבר על משמעויות של פעולות חשבון [אני עוד ארחיב במפגשים הבאים]
• לוגיקה: גם / או / שלילה -- [גם כאן, ארחיב בהמשך]
• מה זה אפס (אין)? לדוגמה: כמה פילים אמיתיים יש לנו בחדר? אין לנו אז נאמר שיש אפס פילים בחדר.
• התמצאות במרחב: [בנושא זה הרחבתי ברשימות: בקצרה כאן, בפירוט יתר כאן, ובהרחבה ממש כאן]

ללמד תוך כדי התנסות

• להמחיש, לנסות ולהתנסות
• לא תמיד אנחנו חייבים להיות המסבירים, אולי ילד אחד יסביר לילד אחר?
• (הדוגמאות השונות מכל המאמר כולן מציגות התנסויות שונות ומשונות -- ברשימות נוספות אדגים משחקים ופעילויות שאפשר לעשות עם הילדים ואנסה להדגיש את העקרונות שמשולבים בהם). הנה עוד כמה רעיונות:
• לקחת תמונה מעיתון ולספר עליה כמה שיותר סיפורים שמבחינים בין חלקים שונים, משווים ביניהם, מונים עצמים, מדברים על יחסים (מה מעל מה? מה נמצא מאחור? אילו צבעים בתמונה? מאיזה צבע יש יותר? ... וכו')
• מה זאת השוואה? לפי מה משווים? ניקח חפצים אמיתיים שיש לנו בבית ונשווה ביניהם לפי אמות מידה שונות ולפי תכונות שונות
• כשעורכים את השולחן (לבקש מהילדים לעזור) אז לשאול: כמה צלחות? כמה מזלגות? כמה כוסות? אם יגיע עוד זוג אורחים (נאמר, למשל, סבא וסבתא) אז כמה כלים נצטרך להוסיף? אילו?
• מה משמעות הצבעים השונים ברמזור? איך יודעים איזה מהרמזורים בצומת מיועדים עבורינו ומה תפקידם של שאר הרמזורים? מה משמעות החיצים? מדוע החץ שמורה למעלה משמעותו ישר?
• תחושת זמן: מודדים 5 דקות במהלך טיול רגלי ואז בודקים כמה מכוניות ראינו וכמה עצים ומה ראינו יותר ולמה זה כך? מדגימים על שירים שהילדים שולטים בהם ומודדים כמה זמן אורכים ואז משתמשים בשירים בתור קנה מידה לילדים כדי לתת להם תחושה של מה זה "כמה דקות" או כמה זה "חצי שעה" וכו'. ננסה לבדוק אילו פעולות אנחנו יכולים להספיק ב-5 דקות.
• לזכור: מוחשי זה משהו שנתפס בחושים ומופשט הוא מה שנתפס בחשיבה. כדי שהחשיבה תתפוס, צריך לעבור דרך החושים, להבין, להתאמן לבנות דגם חשיבה ורק אז הילדים מוכנים למופשט.

כוונה והדדיות

אחד מתוך שלושת המרכיבים ההכרחיים לצורך תיווך (למידה משמעותית).

הכוונה, שהיא יוזמה של המבוגר או של הילד, מתייחסת לניסיונות שעושה אחד השותפים בתהליך של למידה-הוראה כדי למקד את תשומת לבו ואת הקשב של השותף האחר. ההדדיות, היא היענות ותגובה לאיתותיו של השותף לאינטראקציה. המבוגר מחויב להיענות ליוזמותיו של הילד, ולהמשיך את האינטראקציה בהתאם להתעניינותו ולרצונותיו של הילד. קיומן של אינטראקציה מתמשכת והנאה מהתנסות הלמידה מחייב את המתווך להסתייע במידע על התרבות שהילד משתייך אליה, על יכולתו והעדפותיו, על רמת ערנותו ועל מאפייני הטמפרמנט שלו.

עיקרון התיווך "כוונה והדדיות" כולל שלוש קטגוריות של התנהגות של המבוגר המתווך:

• מיקוד לא מילולי: הצבעה על חפץ, הסטת מבט, שינוי תנוחת גוף, התקרבות לגירוי
• מיקוד מילולי: פנייה בלשון בהירה: "הבט", "הסתכל" "הנה כאן", "הקשב", "בוא", "זה מעניין"
• מיקוד לא מילולי ומילולי: הצבעה על חפץ והמללה בהתאם: "הסתכל, הנה..." 

כוונתו של המתווך (ההורה או המורה) לתווך מנווטת את המהלך כולו. המתווך, המעונין שמקבל התיווך (הילד) יקלוט את מסריו, יארגן את הגירויים כך שיהיו קליטים על ידי החניך (הילד). הוא ידאג לעורר את תשומת ליבו של חניכו ויבטיח שהוא יתרכז ויעקוב אחר הגירוי שנבחר.

בהוראת החשבון, כמו גם בהוראת המקצועות האחרים, ההתכוונות וההדדיות יתרחשו כאשר תתרחש אינטראקציה ישירה בין תלמיד למורה. למשל, על ידי שאלות המופנות אישית לתלמיד מסוים. המורה יכול להתאים את טיב השאלה לאופיו של התלמיד. תלמיד מתקשה יקבל הנחייה אישית באמצעות שאלה שתופנה אליו ותאפשר לו להצטרף למעגל המבינים. לעומתו, אל תלמיד מצטיין תופנה שאלה ברמה שתעורר אותו להתמודדות. השאֵלה למתקשה יכולה להינתן מחומר שכבר נלמד ולמצטיין מחומר חדש באותו תחום.

דפי עבודה ותרגול, ככל שיהיו מדורגים וערוכים היטב, אינם יכולים להחליף את הסיטואציה התיווכית של דיאלוג מורה-תלמיד וגם של תלמיד- תלמיד. לפעמים הסבר של תלמיד-עמית יוצר תיווך שאינו נופל מתיווך מורה-תלמיד.

מאחר שהילדים יכולים לתווך זה לזה , חשוב ביותר הרב-שיח שמתרחש בבית או בכיתה. עד כה לא נמצאה גם תוכנת מחשב שתחליף בהצלחה את התהליך האינטראקטיבי שבין מתַוֵוך למתֻוָוך.

פרמטר ההדדיות וההתכוונות מתאים אך ורק לאינטראקציה בין בני אדם.

דוגמה לכוונה ליצור הדדיות אפשר להביא מתחילת ההוראה של העשרה אינסטרומנטלית. המתווך משתף את הילד בכוונותיו והוא מסביר לו כבר במפגש הראשון עם הנושא שמוחשי הוא מה שניתפס בחושים ומופשט הוא מה שניתפס בחשיבה. מקבל התיווך מודע לעובדה שהמתווך מעוניין ומתכוון ללמדו כיצד להגיע להפשטה. הוא גם לומד את היתרונות של ההפשטה וחש מתי הוא עובר מפעילות קוגניטיבית ברמת ההמחשה לפעילות ברמת ההמחשה.

משמעות

המרכיב השני מתוך שלושת המרכיבים ההכרחיים לצורך התיווך.

תיווך המשמעות נוטע בילד את המודעות לכך שלגירויים, לאירועים, לאנשים ולתחושות יש משמעות רגשית ומילולית. בדרך זו מועברים לילד ערכי התרבות של החברה. תיווך המשמעות מתחיל בראשית החיים. תחילה הוא מועבר באמצעים לא-מילוליים: חיוכים, צעקה והבעות פנים ואחר כך מיתוספת המשמעות המילולית שכוללת מתן שמות לחפצים, לפעולות, לרגשות, לתופעות טבע וכדומה. התיווך האנושי הוא הנותן לדברים משמעות. שימוש עקבי בעקרון תיווך המשמעות מעורר בילד את הצורך לחפש משמעות בכל מה שנקרה על דרכו.

עקרון העברת המשמעות כולל שלוש קטגוריות:

• שיום – קריאה בשמות של חפצים, של אנשים, של רגשות של אירועים
• רגש – ביטוי מודגש של התלהבות, התרגשות, או כעס, מילולית או במחוות גופניות
• הסבר קצר – תיאור קצרצר שמתאר את מהות הגירוי

אנחנו רוצים שהילדים יבינו את משמעות הדברים שאנחנו מסבירים להם: רעיונות, עקרונות כלים וכדומה. הם צריכים להבין לשם מה אלה נדרשים ומה עושים בהם. מילה טובה להשתמש בה היא "כי". לדוגמא: אין לגעת בסיר כי הוא חם. נגיעה בסיר חם מסוכנת כי היא גורמת לפציעה. לא כדאי לנו אם כך לגעת בסיר חם כי הפציעה כואבת מאוד והכאב והסבל לא יעברו במהרה.

התיווך למשמעות עוסק באנרגיה שעל החניך (הילד) להשקיע בביצוע המשימות והרגשות המתלווים לעשייה הזאת. המתווך (ההורה או המורה) משתמש בכל האמצעים כולל הבעות פנים ותנועות גוף, כדי להביא את החניך לאינטראקציה הדדית. לעורר את הצורך בעשייה כלשהי פירושו להפעיל את המרכיב של המשמעות באינטראקציה התיווכית.

במתמטיקה התיווך למשמעות יתבטא בפתרון בעיות שמקבל-התיווך יכיר בחשיבותן ולכן יהיה מוכן להשקיע אנרגיה בפיתרונן.

דוגמה: ההבחנה בין תכונות (ובאופן כללי הבחנה בדקויות): ההבחנה בתכונות ושיומן (לתת להן שם) מאפשרת לנו להשוות (הרי כשמשווים אנחנו משווים לפי תכונה מסוימת, לפי קריטריון מסוים). היכולת להשוות היא זאת שנותנת בידינו את הכוח להבין מה יותר, מה פחות וכו'. לכן הלומד חש צורך להבין את הנושא. אם הילדים אינם מודעים לחשיבות הנושא, טוב יעשה ההורה אם יעמיד בפניהם מצבים שבהן נדרשת ההשוואה או טוב מכך יעמיד את הילד במצבים שבהם הוא נאלץ להשוות ובכך יעורר בילדו מוטיבציה להבין את הרעיון או את המושג ואת משמעויותיו או את אופן ביצועו.

העברה – אל מעבר לצורך מיידי

המרכיב השלישי מתוך שלושת המרכיבים ההכרחיים לצורך התיווך.

עקרון תיווך זה כולל תיאור מילולי שמסייע לילד להרחיב את מודעותו הקוגניטיבית לסביבה מעבר לנדרש לסיפוק צרכיו המידיים. למשל: בשעת האוכל הצורך המידי הוא האכילה, והשיחה על המזון – טבעו, צבעו, טעמו, שמו ותיאור הציפייה להופעתו היא תיווך מעבר לצורך מידי. המתווך משווה בין תופעות, מצביע על מאפיינים נוספים לאלה הנראים לעין, על קשרים בין העבר להווה או בעין ההווה לעתיד או על כלל כמו: "בבוקר אוכלים ארוחת בוקר".

באמצעות תיווך הרחבה - מעבר לצורך המידי, מתקדם הילד מחשיבה ברמה מוחשית ומהישענות על חושיו לחשיבה מופשטת ולשימוש בייצוגים.

פירטתי בדוגמאות בסעיפים הקודמים כמה רעיונות שהדגמתי אותם בכמה הקשרים שונים במתמטיקה ובחיים. והנה דוגמה נוספת, המכנה המשותף מופיע גם כאשר אנחנו מנסים לחבר שני בנים עם שלוש בנות ומקבלים חמישה ילדים; הוא מופיע עוד כאשר אנחנו רוצים לחבר או לחסר במאונך (זוכרים? אחדות מתחת לאחדות, עשרות מתחת לעשרות וכו'...); כמובן, בחיבור ובחיסור שברים אנחנו משתמשים במכנה משותף; אנשים זרים יוצרים קשר ושיתופי פעולה זה עם זה על בסיס של מכנה משותף (עניין משותף); וכך הלאה.

פניו של התיווך לעתיד – ההכנה לקראת…

המרכיב הזה של התיווך מתבטא בהעברת התרבות לפרט, בהקניית אסטרטגיות קוגניטיביות. באמצעות האסטרטגיות האלה יוכל מקבל-התיווך (הילד) להגיע לרמות חשיבה גבוהות יותר. הטרנסצנדנטיות מקנה לחניך (הילד) מרכיבים של זמן, מקום, סדר, רצף וחוקיות , שבאמצעותם יוכל החניך לתפקד ברמה גבוהה יותר.

המדד הזה של התיווך אינו כולל סוגים של אינטראקציות שמטרתן מידית – כמו עצירת ילד שרץ אחר כדור לכביש.

המרכיב הטרנסצנדנטי במתימטיקה מתבטא בהקניית עקרונות חשיבה שיאפשרו למקבל-התיווך לפתור בעיות חדשות שייתקל בהם בעתיד.

לתיווך תהיה הצלחה מקסימלית כאשר יוכל החניך (הילד) לפתור ביעילות בעיות בתחומים מתמטיים ובעיקר חוץ-מתמטיים. היכולת של התלמיד ליישם כללים לוגיים שנרכשו במתמטיקה בתחומים אחרים מצביעה על עצמתו של מרכיב הההעברה בחוויית התיווך.

אחריות אישית ומתמטיקה

גדולת המתמטיקה היא גם מכשלתה, היא דורשת בנייה עקבית של מבני חשיבה. דמיינו לכם אבני דומינו שנשענות זו על זו: דיי באחת שתתרופף ומיד יתמוטט המבנה כולו. מאחר שכל שלב קשור ואחוז בשלבים הקודמים לו, נדרשת מהלומד שליטה בשלבים כולם. העיסוק במתמטיקה דורש דייקנות, הבנה ואוטומטיזציה ואין כאן רחמים: טעית? -- לא יועילו התירוצים כגון, זו דעתי. מכאן שגדולתה של המתמטיקה היא בלכידות של יחידותיה ובאובייקטיביות חסרת הפשרות של דרישותיה. בשל כך, היא מחנכת למשמעת פנימית ומחייבת קבלת אחריות אישית על התוצאות.

מצא את השגיאה: יש להזמין את הילדים ולהציע להם להביע את דעתם, לענות ולהשתתף בדיון. אנחנו מסבירים כל טענה. את הטעויות מזהים, מבינים ומתקנים ומהתהליך הזה לומדים. אין לעג ואין בושה לטועים. למעשה, מתשובות שאינן מדויקות ומטעויות לומדים לפעמים הרבה יותר מאשר מרצף מושלם של תשובות נכונות "מהספר". המסר החשוב שעלינו להעביר לילדים הוא שהכול טועים. שגיאות אין מכסים ואין מטייחים ואין מסתירים. שהחכמה היא לאתר את השגיאות, לתקן אותן וללמוד מהן. כך נוכל להימנע מחלקן בעתיד וגם אם נטעה נדע כיצד לנהוג. 

מתמטיקה ותרבות

תרבות מתאפיינת בריבוי מרכיביה, בהיקף תופעותיה ובהשפעתה על תחומים רבים בחיי האדם. המתמטיקה אינה מערכת של טכניקות שמבודדת מהתרבות האנושית, היא תופסת את מקומה הנכבד בתוך מסכת שלימה שמקשרת בין הפן המעשי, החשיבה האחריות האישית והשפה. כדאי להקנות את התחושה הזאת לילדינו.  שילוב של תכנים היסטוריים בהוראת המתמטיקה יוסיפו עומק להיבט התרבותי של המקצוע. אפשר גם לשלב תכנים מהמסורת ומהמקורות שלנו, למשל, במקורות העתיקים של היהדות מופיעה המתמטיקה לא כענף מדעי תיאורטי ותלוש מהמציאות אלא ככלי שימושי שנוגע לבעיות הלכתיות יום יומיות.  במקומות מסוימים,  הסקרנות האינטלקטואלית והאופקים הרחבים של חכמי ישראל גרמו להם להרחיב את הדיונים אל מעבר לבעיה הקונקרטית,  וכפי שנראה להלן,  אם ניגשים אל הטקסטים בצורה פתוחה ובלתי מגמתית, אפשר למצוא טענות ותוצאות מעניינות במיוחד. 

הנה דוגמה אישית: לימדתי את בני, אביב, על פאי ועם כל מיני הדגמות על מהותו ועל אופן הערכתו וחישובו גם מצאתי לנכון להעלות את הקשר למקורות. בספר דברי הימים ובמלכים יש הוראות על בניית כיור שקוטרו 10 אמה והיקפו 30 אמה ומכאן מקישים שהיחס בין ההיקף לקוטר הוא 3 (קירוב לא רע, אבל גס בהרבה ממה שהיה ידוע באותה התקופה על ידי היוונים ועל ידי הבבלים, כנראה). שאל אביב, מה זה אומר על הציטוט מהתנ"ך: האם אכן "דיברה תורה בלשון בני אדם" והטקסט וההוראות הונמכו או אולי שהכתוב השתבש או שיש טעות לכותב... -- עצם הקישור מראה שהנושא אינו תלוש מהתרבות ואפילו עורר אצלו, ילד בכתה ה', מחשבה ויצר לשאול שאלות חשובות (ולא ניכנס לדיון עצמו -- המעוניינים יכולים לעניין, למשל ב- ערכים מדוייקים של פאי, בועז צבאן ודוד גרבר, או ב-דף ספר - בדד - בכל דרכיך דעהו 25 - עריכה עלי מרצבך - הוצאת אוניברסיטת בר-אילן).  מידי שנה ב-14 במרץ (ויש המהדרין ומקפידים בשעה: 1 ו-59 דקות) נהוג לחגוג בעולם את יום הפאי. זאת דוגמה נוספת לקישור לתרבות -- באותו היום חוגגים כמה אירועים נוספים ומציינים אותם. הקשר למציאות ולעבר ולתרבות כמו גם לשימושים תורם ללמידה ולהבנה. 

שתי דוגמאות נהדרות נוספות לקשר שבין מתמטיקה למציאות ולתרבות הן חיתוך הזהב ו-סימטריה. אפשר לקרוא ולהתרשם מהקשרים הללו למשל מספריו של מריו ליביו: חיתוך הזהב ו-שפת הסימטריה. מעניין ששני מושגים אלה באים לידי ביטוי בהקשר לנושא זכייתו בפרס נובל של פרופסור דניאל שכטמן מהטכניון.

קיים קשר הדוק בין תחומי תוכן רבים בשל היותם שזורים על פעילויות קוגניטיביות שמשותפות לכולם, אלו הן אופרציות מנטליות. אנאליזה (ניתוח), למשל, היא אופרציה מנטלית, שאנו נזקקים לה גם בעת פיתרון בעיה מתמטית וגם כאשר מנתחים יצירה ספרותית או תופעה חברתית. הוא הדין לגבי תהליכי השוואה ומיון ולגבי אופרציות מנטליות נוספות. תלמיד מתמטיקה חייב להפעיל אופרציות מנטליות מרובות, שיכולות לשמש מנוף לתהליך תיווכי.

איך נעשה את זה? כיצד ניישם את העקרונות?

נראה דוגמאות רבות אבל הרעיון הוא:

איך נעשה את זה?
מתוך, Candy can do it

• לצאת מעולמו של הילד ומסביבתו הקרובה ורק אז להגיע להכללה מתמטית ולתופעות שונות בעולמנו
• להסביר וללמד עקרונות מתמטיים שהולכים ומתפתחים: כך נביא את הילדים לשליטה בנושאים שהם לומדים ולהבנתם ברמות שונות
• פשוט. לא לסבך. מה שפשוט קל ללמוד וקל להסביר
• אנחנו ההורים יכולים להיות שותפים ללימוד של הילדים בבית הספר ולסייע לילדים כשהם מתקשים וגם להשלים להם את הנלמד ולהרחיב
• ננסה לספק לילדים כלים לפתרון בעיות חדשות: כאלה שהם טרם נתקלו בהם (במקום לשמוע אמירות כמו "לא למדנו" או "זה לא היה בחומר")
• נלמד כיצד להקנות לילדים עקרונות שבאמצעותם יוכלו להסתייע בפתרון בעיות בתחומים חדשים, כמו מדעים ופיזיקה. לדוגמה: הצורך באיסוף נתונים כדי להסיק מסקנות
• נשתמש ונגדיר מושגי יסוד, כאלה שמלווים את הילדים בתחומים רבים, כמו: גודל, צבע, כמות, צורה, מיקום וכו' 
• ננסה להקנות לילדים באמצעות העיסוק בחשבון תהליכי חשיבה בסיסיים, אולי בכך נוכל למנוע או לצמצם קשיי למידה בעתיד 
• נראה כיצד להביא את הילדים לכדי שליטה ואוטומטיזציה, כשאלה מושגות בעזרת חזרתיות יצירתית, מבלי להלאות את הילדים בשינון משעמם 
• נתרום את חלקינו בפיתוח היצירתיות של הילדים בשעה שהם ממציאים בעצמם סיפורים חשבוניים
• כל שלב שנסביר נלווה בפתרון ובהמצאת בעיות שמיועדות להקנות משמעות ושליטה
• טעות אינה בושה. הכול טועים. נתן דוגמה אישית שטעויות מוצאים, מתקנים ואז לומדים מהתהליך כדי להימנע מהן בעתיד.
• ננסה להבין כיצד נוכל לסייע להשלים את הנעשה והנלמד בבית הספר כדי להקיף כל תחום מכל היבטיו וכדי שכל שלב שנלמד יחזק את קודמו

ללמוד ללמד ילדים מתמטיקה של בית ספר יסודי: מדוע אנחנו ההורים עושים את זה?

פרופסור רון אהרוני ביקר בכפר יונה ונשא דברים בפני הורים של תלמידי בית ספר עמל שבאו לשמוע על החזון למרכז לימודי בהתנדבות. מתוך המאמר, כמה עקרונות הוראה ומדוע הורים צריכים להיות מעורבים בחינוך, אביא את עיקרי דבריו: 

רון אהרוני

מדוע הורים צריכים לדעת עקרונות הוראה? מהרבה סיבות. ידע כללי, הבנה מתמטית שלהם עצמם, חיבור לילדים, הבנה מה קורה עם ילדיהם. אבל יש עוד סיבה: הם יכולים לעזור. 

אומר כאן דבר שיישמע כסותר את הדברים האלו. דבר שהוא בעיני חשוב מאין כמותו: שינוי אמיתי בחינוך יכול לבוא רק מתוך המערכת. תרומות מן הצד הן משניות. העבודה החינוכית האמיתית נעשית בכיתה. 

אבל ההורים יכולים לתרום לאווירה החינוכית, לכיוון הכללי. האכפתיות שלהם והידע שלהם, אם ינותבו בצורה חיובית, ישפיעו על המערכת כולה. כל הורה שמבין מה קורה עם ילדו בבית הספר משפיע על המערכת. 

במה נעסוק במפגשים הקרובים?

הכוונה היא לעסוק במפגשים הקרובים במתמטיקה כשפה וכיצד זה בא לידי ביטוי במתמטיקה של בית הספר היסודי. במפגש הבא (ל"ג בעומר) נקיים סדנת "הכה את המומחה": ההורים יביאו בעיות שהתקשו להסביר לילדים ואני אפתור אותן על הלוח ודון כיצד מסבירים לילדים.

בשבועות הבאים נעסוק במבנה המספר העשרוני ואז במשמעויות של פעולות החשבון. העיסוק במשמעויות פעולות החשבון וכיצד ההבחנה בדקויות מסייעת להתמודד עם בעיות מעשיות בחיים ועם "בעיות מילוליות" במתמטיקה. ואח"כ? נדבר על זה כשנגיע.

המורה,

שלמה יונה